闲侃 (6)：从智商到决定论

送交者: 紫荆棘鸟 2013年12月04日14:20:01 于 [五 味 斋] 发送悄悄话

昨天论坛有几个话题，大伙儿聊得比较多的是智商 (IQ)、以及天才维纳 (Norbert Wiener)。维纳的话题是因为深山兰同学的帖子：维纳的两次遭遇 。这里俺再就这两个话题补充几句，特别是如何将这两个话题联系起来，看是不是有些意思。 0) 先来几句“铺垫”。这里我们假设只讨论成人的智力，并且假设所讨论的每个人智力是不变的，假设我们讨论的是目前最流行的韦克斯勒成人智力量表。智力，比较明显的是个体概念，因为这是你个人的某种属性；但是智商 IQ 则不是，智商是个集约的概念，它是将某个人的智力拿去和其他人相比较而得到的一个值。这和“道德”这样的概念是类似的，离开了群体去谈论道德是卑鄙还是高尚是没有意义的。比较明显的是，函数 f       IQ = f (智力) 理论上是个单调函数，所以从这个意义而言，在群体/样本空间给定后，智商 IQ 就是智力的一种度量，它们之间存在 1-1 对应关系。 在韦克斯勒成人智力量表中，在假设服从正态分布的前提下，智商的平均值被定义成 100，标准差被定义成 15，见下图 (from online)： 这自然意味着，大约有 68% 的人智商在 85-115 之间，大约有 95.45% 的人智商在 70-130 之间，所以智商高于 130 的人大约只占 2.27%。 1) 关于 IQ 测试的两句题外话。 话题 1a)：因为“智力”这个概念在 IQ 测试前就存在，所以传统意义下的“智力”，和 IQ 测试下的“智商”---- 从而智力，因为智商和智力存在 1-1 对应关系 ---- 就会有偏差，这是一般的 IQ 测试成绩用来度量智力而招致批评的主因。不过据统计，IQ 值和成绩测试之间的相关系数很高，大约有 0.70+，而 GRE 分数和成绩测试之间的相关系数不足 0.2。 话题 1b)：东亚人 (大陆、台湾、香港、日本、南韩等) 的 IQ 值全球最高，部分原因是因为东亚人的学习方式造成的，应试教育能使得这个分数偏高。当然这个说法会使得部分民族自豪感很强的同学不高兴。 2) 你的智商是多少：频率学派和贝叶斯学派的分歧 你的智力是你的一种固有属性，所以你可以假设它是个固定值。但是你的智商呢？因为智商是个集约概念，它的平均值被定义成 100，所以你的智商 IQ 值，很明显，是样本空间的一个变量。如果测试的样本空间是全大陆或者全世界，你的 IQ 值若是 100，那就是十足的中庸之资，只能拿来在一群笨蛋前面显摆；但是如果样本空间是全世界的傻博士甚至是全体炸药奖得主，那得个 100 的分数就是件值得显摆的事情，至少比巴灵顿大学高才生吴征博士强。 所以不妨固定样本空间，例如假设样本空间是大陆。因为理论上你的智力和智商存在 1-1 对应关系，所以样本空间固定了，你的智商理论上也有个值。假设你在某次测试中得到了一个分数 120，这个 120 是不是就是你的真实 IQ 呢？很明显，不大可能恰好就是，因为你若参加数次测试，你的分数可能是 120、115、124、119、119、123 等之类。大家知道，统计的一个使命就是从这些观测值出发，推出你的真实智商是多少。当然你可以用各种看上去比较合理的推断法，例如最小二乘；例如最大似然、最大后验等。用统计术语来说，这里的任务就是对你的智商这个“参数”进行估计，其中最大似然、最大后验这两种方法 (本质上，前者是后者的特例) 和概率中的贝叶斯 (Bayes) 定理密切相关，具体细节就没必要说了。贝叶斯本人可以说是历史上最大牌的“民科数学家”之一。他带来的影响不只是数学方面的，也有哲学方面的，历史上著名的哲学流派“贝叶斯学派”就是以他的名字命名的。 为啥这会牵涉到哲学？而且这和深山兰的帖子、特别是“决定论”有啥关系？ 回到咱们的话题。咱们现在的任务是从一系列的 IQ 测试成绩去估算出真实 IQ，对不对？所以一个很自然的想法就是，我虽然不知你的 IQ 的值到底是多少，但是我知道它一定是存在的，是个固定值，不会改变，亦即 IQ = constant；如果测量值越多，我们就能越精确地知道真实的 IQ 值，对不对？持这种观点的学派，称为古典的频率学派 (Frequentists)，和它对立的就是贝叶斯学派(Bayesians)。贝叶斯派则认为你的真实 IQ 并不是一个固定值，而是一个随机值，也就是说，你的真实 IQ 也可以是个分布：      IQ = g (IQ) 这里 g 就是参数 IQ 所服从的分布。所以从模型而言，贝叶斯学派的模型比频率派的模型更复杂，从计算角度而言，大体上贝叶斯学派关于你的 IQ (注意此时你的 IQ 是个分布) 结果，亦即所谓的后验分布，就是频率派的似然函数乘以所谓的先验分布函数。所以从方法论/哲学的角度而言，频率学派可以说是 static 的，贝叶斯学派可以说是 dynamic 的，后者的模型是不确定的，完全取决于观测数据 (亦即你的一系列 IQ 测量分数)，以及一个带有主观色彩的先验分布，然后用似然函数去修正先验分布，然后得到后验分布 (亦即你的 IQ 到底是多少的一个概率分布)。自然规律 (例如你的真实智商) 到底是什么，频率派认为是客观存在的，不以你的观测结果和主观判断而改变；贝叶斯学派则认为自然规律依赖你的观测结果 (例如你的 IQ 测量值)，不同的观测结果会导致不同的客观规律，而且和主观的先验分布有关；也就是说，观测数据 (外加主观的先验分布) 决定了客观规律是什么。 所以，你的智商到底是多少？呵呵，是不是不说还成，现在倒貌似越说越糊涂了？ 3) 胡侃决定论：和深山兰商榷 尽管不是一回事，但是经典的频率派和贝叶斯学派的区别，和经典物理和哥本哈根学派对量子力学的解释，是有些相似的。大体上讲，频率派和以爱因斯坦为代表的经典物理学派类似，而贝叶斯学派则和玻尔、玻恩的哥本哈根学派观点类似。 长话短说，回到深山兰昨天的一则跟评 (见 http://bbs.creaders.net/life/bbsviewer.php?btrd_id=3170631&btrd_trd_id=913125，这里拷贝如下)： 庞加莱对混沌的认识是今天混沌理论的先驱。今天知道，我们的这个世界根本不是严格决定论的。 他对世界这个特性的认识，是远远走在时代前列的。而爱因斯坦却一直抱着牛顿力学推导出来的决定论的东西不放，这是他为什么极力反对量子力学的根本原因。很显然，在此点上，爱氏被时代远远抛弃了。当然，我们不能就说庞加莱超过了爱氏。仅说二人是一个水准上的。 首先，爱因斯坦-玻尔之间的之争里，那里的“决定论”，和这里混沌理论 (当然还有别的，例如布朗运动) 中的“决定”，不是一个意思，是有本质区别的。爱-玻之争的决定 (自然就是包括相对论在内的经典物理之决定论)，老爱认为是本质的，而量子力学的统计结果不是本质的，经典的决定论仍然起作用，尽管如何起作用的，老爱以及薛定愕、玻姆等人回答不了，但回答不了并不等于经典的决定论不起作用；但玻尔、玻恩等人的观点是经典的决定论失效，统计诠释是本质的。 但是混沌理论、布朗运动以及别的例如热力学等，决定论并没有失效。例如10000 个花粉在水分子的撞击下做布朗运动，物理学是能够提供描述这些花粉运动的精确解的动力学方程组的，尽管实际上这做不到。水分子随机撞击花粉的布朗运动，经典的决定论并没有失效，你之所以不这么做，是因为你能力有限，解不出几万亿个方程组。但你不能，并不意味着耶和华不能。但根据量子论的观点，耶和华在开启黑匣子前是对薛定愕猫的生死状态也断言不了的；电子的具体位置，耶和华也是无法精确测量的。这是因为本质，而不是因为技术上的困难。如果我们能瞬间秒解几万亿个方程组，热力学就是多余的，熵增定律就可以抛进爪洼岛，因为它们是多余的。 如果贝叶斯学派是本质的，那么耶和华也回答不出你的智商到底是哪个固定值，因为它不存在一个静态的值，它会随着观测数据的改变而不断地被修正。耶和华只能给你一个后验的动态分布结果。 经典物理的决定论只在一种情况下失效：在广义相对论模型下，强引力场存在闭合回路的情形。但即使是这样，这种失效和量子论的统计解释中的失效也是不同的：前者的失效不是本质的，而是因为整体积分迭加的结果，这种失效是 traceable 的，而在局域范围内决定论总是有效的；后者则是本质的，是因为上帝在抛硬币。

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