提要：本文針對越位妹妹提出的（不知從哪裡找來的）“火柴棍砍三節成三角形之概率”這個問題，在兩種情況下給出解答。 定理一：如果是隨機地對火柴棍砍兩刀，得到的三節能構成三角形的概率為1/4. 定理二：如果先隨機砍一刀，然後選取長的一根再砍一刀，得到的三節能構成三角形的概率為2ln2-1. 在我們開始證明我們的定理前，請嚴肅注意，定理一和定理二是不一樣的！可以如下理解：第一種情況是什麼呢？就是說先砍一刀，然後“隨機”地抓起一根再砍一刀。而第二種情況是什麼呢？就是砍了第一刀以後，比較一下，選擇長的一根再砍，這顯然是一個條件概率的問題。和第一種情況是不一樣滴！ 定理一證明：由於不能畫圖，請讀者拿一張紙和一支筆，跟着本崽兒畫圖啦！ 在紙上畫一個等邊三角形（注意！等邊），使得等邊三角形的高等於等於火柴棍的長度=1。在三角形內部選取一點，我們叫這點為P,從P往等邊三角形的三條邊分別做垂直線，得到三個交點P1,P2,P3。我們可以知道如下結論： PP1+PP2+PP3=等邊三角形的高，也就是火柴棍的長度。 (對於這個結論大家不要懷疑啦！在此就不給出證明了。) 所以說，我們砍下來的三節火柴棍，就可以看成PP1,PP2,PP3。 好了，現在回到原來的等邊三角形，在每條邊取中點，然後把三個中點連接起來，我們現在得到什麼了呢？ 我們得到了四個完全一樣的小等邊三角形----上邊一個，下邊三個，每個等邊三角形的高是多少呢？當然是1/2啦！ 好，我們現在宣布一個關鍵的結論： 只有當P點落到最中心的小等邊三角形的時候，PP1,PP2,PP3才可能構成一個三角形。 為什麼呢? 很顯然啦，只要P點落到其他三個小等邊三角形的時候，必然會造成PP1,PP2,PP3中的一條長度大於小等邊三角形的高=1/2，從而不能構成三角形。 好了，現在結論就顯然了，P點落到中間那個小等邊三角形的概率是多少呢？當然是1/4。 打完收工。定理一證畢。 定理二的證明要複雜一些，大家先理解定理一的證明，待會兒大家再跟着崽兒畫圖證明定理。