歷史上有個哲學邏輯思維戰勝數學證明的例子。

上過初中的人都知道，數分為有理數和無理數。只有在無理數被發現以後，實數周才被填滿，有了“密集性”，在此之前，它是千瘡百孔的、斷斷續續的、不連貫的。

無理數的發現還有個動人的故事。為什麼無理數被稱為“無理”數？因為它太沒有道理了。

無理數的發現，和勾股定理有關。在直角三角形中，直角邊a、b和斜邊c滿足：a2+b2=c2，其中包着平方和開方運算，這樣必然會出現對整數開方不盡的情況，約在4000多年以前，美索不達米亞人在計算邊長為1的正方形的對角線長時，發現了無理數√2的存在，雖然沒有給出嚴格定義，但擅長計算的他們採用遞歸法找到了一個無限接近√2的有理數，人們在楔形文字泥板中精確到小數點後1000000位。

大數學家畢達哥拉斯，是第一個用數學和邏輯思維方法證明了“勾股定理”的人。發現無理數的人，是他的弟子——希帕索斯。在求正方形的對角線時，希帕索斯發起了愁，這到底是個什麼數？根據老師所講：

“萬數皆數”；

“1是所有數的生成元”；

“宇宙的一切都歸結於整數和整數之比”。

既然能用合適的整數來表示對角線，那麼，能否用兩個整數比來描述呢？希帕索斯花了很長時間，一無所獲。

接下來，希帕索斯利用畢達哥拉斯學派常用的方法——反證法，證明出了這個數字無法表示為兩個整數之比：假設數為a=q/p，假設q、p是化為最簡分數比後的整數，即q、p互素，根據勾股定理，a2=(q/p)2，化簡為2p2=q2，從這個算式可以看出，q2是偶數，那麼q也是偶數，q、p互素，所以p肯定是奇數；

如果q是偶數，則可以表示為q=2b(b是自然數)，帶入2p2=q2中，得p2=2b2，那麼，p2是偶數，p也一定是偶數，與上段結論矛盾。於是，√2不能表示成兩個整數之比！

那麼，這到底是什麼數呢？除了整數和整數比(即分數)外，世上還有別的數嗎？帶着疑問，希帕索斯找到了老師畢達哥拉斯，誰知，看到推翻了“萬物皆數”的觀點後，畢達哥拉斯非但沒有“江山代有才人出“的自豪，反而非常驚慌，擔心學生的發現會動搖學派的根基，便將希帕索斯囚禁起來，最終殘忍地將他丟進大海，這是數學史上的一個悲劇。

俗話說，沒有不透風的牆，人們最終還是知道了這些數的存在。15世紀時，著名畫家達·芬奇稱之為”無理的數“。17世紀時，德國天文學家開普勒稱之為”不可名狀的數“，畢達哥拉斯學派的”無理“之舉，奪去了希帕索斯的生命，為了紀念這位為真理獻身的學者，人們把這種”不可公度比“的數稱為 “無理數”，而像√2這種記法，最開始是由數學家笛卡爾提出的，沿用至今。