阿基米德是有史以來最重要的科學家。

這個結論是這麼得出的。英國哲學家Ａ．Ｎ．懷特黑德曾經有過一段著名的評論：“歐洲哲學傳統最可信賴的一般特徵就是，它是由對柏拉圖的一系列註腳所構成的”。這個評論聽起來也許令人難以接受，但實際上是相當理性的。柏拉圖的直接追隨者，譬如亞理士多德，竭其所能去反駁或提煉柏拉圖的論據。後來的哲學家們辯論，追隨哪一個更好，柏拉圖還是亞理士多德。所以在真正的意義上，後來的西方哲學全是對柏拉圖的註腳。

歐洲科學傳統最可信賴的一般特徵則是，它是由對阿基米德的一系列註腳所構成的。我這麼說，跟懷特黑德說柏拉圖基本上是同一個道理。舉個例子，我們只需看一看近代科學最有影響力的書之一，伽利略的《兩門新科學的對話》。這本書出版於１６３８年，那時阿基米德剛好去世一千八百五十年，時間確實過了很久。然而，伽利略自始至終是在借用阿基米德的理論。從根本上講，伽利略推動了靜力學（物體靜止時的規律）和動力學（物體運動時的規律）這兩門科學的發展。對於靜力學，伽利略的主要工具是重心和平衡定律。這兩個概念都是伽利略從阿基米德那裡借用的－－伽利略總是恭謙地指明這一點。對於動力學，伽利略的主要方法是曲線近似，以及時間和運動的比例，後兩者又是從阿基米德理論直接推導出來的。從來沒有哪個學術權威被如此頻繁地引用，或者在引用時給予如此的尊崇。伽利略基本上是在阿基米德停頓下來的地方重新開始，朝着他的希臘前輩指出的方向努力。不光伽利略如此，“科學革命”時期的其他偉人也是這樣，譬如萊布尼茲、惠更斯、費馬、笛卡爾和牛頓。他們都是阿基米德的追隨者。因為牛頓的緣故，那個時期的科學以徹底的阿基米德形式，達到了完美的境界。牛頓根據純粹而漂亮的第一原理，運用純粹的幾何學，推論出主宰宇宙的規律。後來的科學成果都出自於對牛頓－－或者說阿基米德－－方法的推廣。

近代科學工作者從阿基米德那裡學到了兩個原理：

· 無窮數學
· 數學模型的物理應用

“羊皮書”讓我們對阿基米德在這兩方面的成就了解得更多。

無窮數學，和數學模型的物理應用，相互緊密關聯。這是因為，物理現實是由瞬間作用力的無窮小脈衝所構成。所以，要得知這些力產生的結果，我們必須將許多無窮小的“脈衝”無限求和。這點讓人吃驚：我們或許認為無窮數學只是某種恣意猜想，沒有實際用途（我們或許認為在普通世界終究找不到無窮大）。但結果是，無窮數學成為科學最實用的工具，其重要性使得它獲得一個簡稱，“微積分”。數學通過微積分在物理學中的應用：這就是近代科學。特別是牛頓，運用隱含形式的微積分推算出行星的軌跡－－這是一項漂亮的結果，它影響到後來的所有科學，從根本上說，它是運用阿基米德式洞察力的成果。

既然阿基米德對微積分學成形的貢獻大於其他任何人，既然他是將數學運用到物理世界的先驅，那麼，西方科學的確僅僅是對阿基米德的一系列註腳。因此這也說明，阿基米德是有史以來最重要的科學家。

阿基米德的影響力不只局限於科學內容。他的文字有一種特殊的品質。他的讀者一次又一次為意想不到的並列比較而感到異常的驚喜。優雅、驚奇的對比，是阿基米德的主要風格，後世的科學家深受他影響的主要原因，是他的著作讀來樂趣橫生。後世的數學家直接或間接地想效仿阿基米德的出人意料和優雅的風格，因此，阿基米德的文字塑造了我們對數學論著應有水準的第一感覺。在以下各章，我不僅想解釋阿基米德的工作本身－－他對微積分和數學物理的貢獻－－還想解釋他的風格。這兩方面都同樣值得我們學習。

在研究“阿基米德羊皮書”時，我逐漸開始欣賞阿基米德這兩方面的成就－－內容和風格。２００１年的一項重要發現，讓我們第一次看到，阿基米德當時已經多麼接近現代的無窮概念。２００３年的另一項重要發現，令我重新思考我們對阿基米德風格的整個概念。這個就是從頭至尾關於“羊皮書”的工作：一頁頁費力地研讀原稿（或者更多的是電腦屏幕上增強的頁面圖）；一個個字母變成一個個詞，再變成一個個詞組；一般到這步沒有任何新東西出來；但偶爾會有一些發現，有的還具有重要歷史意義；最後，出現兩項動搖數學史基礎的重大發現。

我從未想到過自己竟然會費力地鑽研起原稿文本來。根據中世紀抄譯本編輯古代重要文稿的工作，大部分都在十九世紀完成了。當然，你總能做些小的改進，或者編輯非重要作者的文稿，但是，今天已經沒有多少人做這種工作了。這不光是因為比較有趣的作者的文稿已經被人編輯過了。當今的文化思潮與十九世紀的非常不同。現今，人們已不再對文章的枯燥細節那麼感興趣，而是對那些文章的綜合涵義更感興趣。如今一篇古典文學專業的博士論文，通常是對已定型文章的某種理論思考，而不是給這些文章本身添磚加瓦。“理論”才是大家想要的東西：說得直截了當些，如果你的智力輸出只是對原文的編輯，你可能很難找到工作。除此之外，這也並非是不好的發展趨勢。十九世紀的學術成就令人印象深刻，我們從中受益非淺，但是有時候閱讀起來很是乏味（常用到拉丁文），偶爾甚至會感到太樸素太簡單，缺乏重要的理論思考。例如，運用文化人類學或者一般詩歌語言學的直覺洞察，令我們對古代世界的理解更加豐富而深刻。我在劍橋作論文的指導老師是坐“希臘科學”研究頭把交椅的傑弗里·勞埃德爵士，我自己的博士論文就是這種現代傳統的一部分。傑弗里·勞埃德將人類學運用到希臘思想的研究，還有他使用比較法（將希臘科學和同時代的中國科學並列比較），對我啟迪都很大。我的第一本書《希臘數學演繹法的形成：認知史的研究》，具體談到了運用認知科學的直覺觀察（或是相反：我自己的希望是認知科學家能從史學家的話里學到點東西……）。我的目的始終是想揭示對數學的體驗：它是如何在大腦中留下印象的？我認為，為了體會這一點，你必須能讀懂精確翻譯（忠實反映作者的公式表述）過的數學，因為這些表達式傳遞的信息是古人自己如何看待科學的。這些數學表達中最為重要的卻從未被譯成過英文。跟阿基米德有關的、唯一一篇很差的釋文是Ｔ．Ｌ．希斯於１８９７年寫的，他完全忽略了阿基米德的數學語言。因此，我決定出版一輪新的翻譯，並加入我自己從理論角度對希臘數學的評論。

我本來打算不只是翻譯阿基米德。最近一些古典學者開始注意起科學的視覺一面，我也是其中一個。我前面說過，十九世紀的學術成就，從某些方面看似乎落伍了，而這裡說的就是其中一個方面，跟編輯工作有關的。十九世紀編輯數學文稿的古典學者對文字很感興趣，而忽略了圖表。當你翻開那個時代編輯的書本，你會發現圖表並不是按原始稿件中實際所繪的樣子。相反，它們是編輯者自己的圖。我得知這一點很是吃驚，然後我開始考慮：我該不該破天荒出版一冊圖表的編輯本？我很清楚，這意味着要四處出差，去收藏着各種阿基米德原稿的大圖書館。我查找過那些原稿的保存地點，發現是在巴黎、佛羅倫薩、威尼斯和羅馬。好，幹嘛不去呢？我認定這個想法很好。這是個規模很大的計劃，還不一定完全有希望。要翻譯的阿基米德原文大約有十萬字。很難的十萬字。更糟的是：正如朋友不斷給我指出的，對原文不確定的地方我怎麼辦？因為最重要的原稿已不復存在，我該如何定奪？

你看，因為就是它－－“阿基米德羊皮書”，作為含有《論浮體》、《方法論》、《史多馬奇恩》（又譯成《瘋狂玩具》，或《十四巧板》）的孤本，以及多數其它著作的關鍵憑證－－當時誰也不知道它的下落。在二十世紀初有人研究過“羊皮書”－－然後又消失了。我也不期望它會復出－－我是這麼回答朋友的：既然原稿很可能一直找不到，就讓我們當它不存在，否則我們永遠無法完成關於阿基米德的任何工作。

劍橋的希臘語欽定講座教授、希臘手稿專家帕特·伊斯特林，密切關注我的研究項目，她曾教會我古文書學的基本技能。一天，我收到她一封信。信中說克里斯蒂拍賣行正在申請允許拍攝珍藏於劍橋大學圖書館的一張書頁，據信這一頁是從“阿基米德羊皮書”里撕下的，而他們正準備拍賣該書原稿。

然後我向古代科學系同仁隨便提及此事，我以為他們一直都知道。結果沒人知道。帕特·伊斯特林這封信猶如一顆炸彈：拍賣即將發生的消息一下子在阿基米德學者群中傳開。剩下的都成了歷史。威爾已經提到過他自己和帕特·伊斯特林的會面，還有他發給我的電子郵件。至於我在收到電子郵件後的反應－－就是說，至於我的發狂、幼稚、令人窘迫的喜極而泣……我還是不談這個罷了。讓我們來談阿基米德吧。

阿基米德是誰？

在古代，第二次布匿戰爭（公元前２１８－２０２年）很象現代的第二次世界大戰。這是一次規模史無前例的巨變浩劫，將地中海的地緣政治徹底翻了個。有一段時間，看起來漢尼拔好象會征服羅馬－－然而羅馬生存了下來，凱旋而歸，到戰爭結束時已十分強大，整個地中海地區都在它的支配之下。希臘城邦失去了獨立，阿基米德代表的文明被羞辱。戰爭的主要轉折點之一，便是敘拉古的陷落。這個地中海西部的希臘名城，犯了戰略錯誤，與迦太基人結盟。２１２年，長期的圍城之後，由阿基米德建立並在戰爭中無邂可擊的敘拉古城防，因為內部倒戈而崩潰。我們不知道，阿基米德是怎麼死的。

事實上，以上基本總結了我們所熟知的歷史人物阿基米德。應該強調的是，我們有幸能知道這些，的的確確應該感到驚喜，我們可以弄清上古事件的年代日期。畢竟，古代沒有人記載“阿基米德死於公元前２１２年”。古代的日期是這樣得知的：我們藏有幾份古代的歷史文件，是當時的年鑑，亦即按年份排列的事件說明（有名的例子如羅馬作者李維）。那時的日曆與現在的不同，但年鑑作者們偶爾會提供天文學數據（尤其是日食月食）。然後我們運用牛頓物理計算出那些事件的日期，並且通過演算得到古代年史的立足點，從而建立起古代日期和現代日期之間的基本對應關係。沒有這種天文學數據，任何年史都無法確立。就連阿基米德自己的死亡日期，也是利用他所創立的科學方法獲知的。

敘拉古圍城戰，是一個銘刻在歷史記憶中的重要事件。所有的年鑑都有記載，我們很清楚戰爭結束的時間。作為敘拉古首席工程師，阿基米德本人對其同時代的人具有極大的魅力，並不斷出現在歷史文獻裡（這又有一點像第二次世界大戰：想想愛因斯坦作為“原子彈之父”銘刻在大眾中的形象）。這樣一來就好辦了：我們確實知道阿基米德是什麼時候死的。但是其它證據的可靠性就差遠了。阿基米德的生卒年份在百科全書裡多為公元前２８７－２１２年。我們知道“２１２”是從哪裡來的。但２８７呢？這個結論是根據後世一位希臘作者的敘述：阿基米德死時是“７５歲的老人”。權當如此吧，只是這位作者約翰尼斯·策策斯生活在公元十二世紀（！）。他對阿基米德的敘述來源於一首充滿饒舌和想像的詩。這首詩也是阿基米德發明鏡子燒敵船的故事的主要來源。可以肯定，如果發生過這樣的事，阿基米德同時代的人一定會記載下來，而策策斯是個拜占庭人，他們的海軍的確以燒船的本領高強而聞名。一句話，策策斯的故事僅僅是個故事而已，而且，他讓筆下的阿基米德成為一個老人，只是為了文學效應。阿基米德大概是相當一把年紀了（比較可信的史學家波利比奧斯如是說），但除此之外我們便一無所知。

問題是這樣的：阿基米德名氣太大，傳奇自然會很多。那麼，我們該怎樣把歷史同傳奇分開呢？這是史學家的問題。十九世紀之前，人們普遍認為古代的故事都是真事；十九世紀以來，懷疑論占了統治地位。今天的史學家或許太謹慎了，但我們的傾向是排斥幾乎所有關於阿基米德的說法。他是否大喊“尤里卡”？（譯者註：“尤里卡”來自希臘文，意為“有了！找到了！”）我自己很懷疑，我來解釋為什麼。讓我們來看這個故事最有名的（也是最早的）版本，羅馬建築大師維特魯維斯的說法－－從年代到作者都已經招來疑義。維特魯維斯是在阿基米德死後兩百多年寫的書，而且總的來說，他不是一位非常可信的史學家（他的書是建築學指南，其中以歷史軼事添油加醋）。

故事是這樣的。阿基米德茶飯不進，苦思冥想王冠的問題。這頂王冠照理是金子做的--但是否是純金的？後來阿基米德注意到浴盆里濺出的水……他立刻跳出來邊跑邊喊“有了！有了！”－－到底有了什麼？按照維特魯維斯，“有了”指的是這樣的觀察，水中的物體排出水的體積等於物體自身的體積：因此將王冠放入水中，測定“濺出”量－－而王冠的體積你是知道的。將這結果與同樣重量的金塊比較：後者排出的水一樣多嗎？金塊越重，排水越少。這樣你就得知，王冠是否具有金子的比重。這個方法不錯，但它依據的觀察實在不稀罕－－“物體越大濺出的水越多”。這其實價值不大，以至於阿基米德在《論浮體》一文（該文唯一的希臘語版本在“羊皮書”里倖存下來）中根本沒有提及。

在我看來，維特魯維斯（或許從自己早先的資料）了解阿基米德關於水中物體的某些發現，也熟知一些價值甚微、科學上不成熟的觀察（譬如“物體越大濺出的水越多”），然後就杜撰了一個故事將兩者扯到一起。但很清楚的是，他對阿基米德的科學一無所知。從維特魯維斯到策策斯，阿基米德的所有故事都是這麼回事：它們聽起來就像都市傳奇。抱歉。

真實憑證的一些片斷匯集起來，可以提供一個引人入勝的故事梗概。我們會多次從本書看到，這些憑證可能很細微，需要大量詮釋。這裡有阿基米德最重要的傳記憑證。這個憑證屬於題外話，出現在阿基米德的驚人名著之一，《數沙者》。在這篇論著里，阿基米德注意到對太陽和月亮的比率有各種估算：例如，歐多克斯認為太陽要大九倍，然而－－我們的原稿中這麼寫的－－有個“菲迪亞斯·Acoupater”認為太陽要大十二倍。不過，沒有像“Acoupater”這樣的人名或地名。原文逐字念出來是：pheidia tou akoupatros，但要記住，直到中世紀很晚時期，希臘文字與字之間還是沒有空格的。這點引出以下推測：如果我們以不同方式將單字分離（解釋古希臘文時允許這麼做）並改動一個字母，原先亂七八糟的“acoupater”就完全講得通了。允許這麼改正的原因是，抄錄人抄稿時肯定會出錯－－我們的手稿就充滿這種抄寫錯誤。因此，十九世紀幾位編輯提議，將“k”改成“m”，再加入一個空格：pheidia tou amou patros。這就變成“菲迪亞斯，我的父親”（逐字看，應是“我們的父親”－－阿基米德時代的文章中，高貴的“我們”是標準用法）。你可以看到，這條證據線索比較簡單，但卻非常有力：原文必須修改，修改後結果非常優雅直截，看來這項修正一定是對的。

這條簡單的線索牽繫着阿基米德的整個家庭傳記。這能夠讓我們感覺到，對原稿的詳細研究有多麼重要、多麼困難。我們對於古代世界的全部知識，均來自於這一類耐心而艱苦的“七巧板”拼合過程。以上例子看起來並非多麼了不起，但它的確告訴我們，阿基米德的父親是位天文學家，他的名字叫菲迪亞斯。

這個事實讓我覺得非常有意義。我研究過古代的名字“菲迪亞斯”，現在請你牢記兩個事實：（１）藝術，還有通常說的技藝，不太為古代貴族所欣賞（這些人一般而言瞧不起動手之人）。（２）菲迪亞斯是古代最出名的藝術家的名字－－公元前五世紀設計巴特農神廟的雕塑大師。記住這兩個事實，並請你考慮以下事實：在別的地方，當我們認識到一個叫“菲迪亞斯”人的所作所為，我們通常會發現，他是某類藝術家。道理很簡單：只有搞藝術的人家才會給兒子起菲迪亞斯這個名字，作為一種驕傲的預言。否則，為什麼要起一個同卑賤的技藝有聯繫的名字？所以，讓我們記住另一個事實：阿基米德的祖父是個藝術家。

關於人名，我們還有很多可說的。阿基米德（Archimedes）這名字本身呢？實際上這個名字很獨特－－而且正好適合阿基米德本人。它由兩部分組成（希臘名字通常是這樣）：“阿基（arche）”，即“原理、規則、第一”，和“米德（medos）”，即“頭腦、智慧、機智”。這個名字從頭至尾念的話，意思是“第一號頭腦”，倒是很恰當地描述了阿基米德。但是，它很可能應該從尾念到頭（希臘名字更常見）。這確是一個獨特的名字，但它還有一個對應的名字：狄奧米德斯（Diomedes），其中“狄奧（Dio）”（“宙斯”的變體）替代了“阿基（arche）”。狄奧米德斯的意思是“宙斯的頭腦”，因此，阿基米德的意思便是“原理的頭腦”－－聽起來有點怪，但感覺非常貼切。阿基米德之前幾代的希臘哲學家，從柏拉圖這樣的人物開始，逐漸演化出一種一神論的科學宗教，不再十分崇拜希臘宗教的人神，而是推崇宇宙系統的優美和秩序，即其“原理”。因此，阿基米德這個名字暗示着，阿基米德的父親、天文學家菲迪亞斯贊成這樣的宗教，崇拜宇宙間的優美和秩序。由此我們能認識到阿基米德的很多背景－－全是根據細微的證據和多樣的詮釋。他的祖父，是藝術家；父親，是科學家－－信仰宇宙優美和秩序的新宗教的天文學家；然後是兒子－－在他的著作中，藝術和科學、優美和秩序，一切共存於完美和諧中。

那些著作當然是了解阿基米德的關鍵。他的故事也許是都市傳奇，但他的著作確實存在，可供我們閱讀。令人驚奇的是，這些論著看起來似乎是些枯燥的數學，但它們實際上充滿了個性。在他純粹的科學世界裡，阿基米德不斷地從浴盆中跳出來。藝術和科學、優美和秩序：讓我們來看看它們在阿基米德的著作里是怎麼共存的。

科學之前的科學

當我們說“阿基米德是個科學家”，我們也許很容易把他想像成穿着白色外套，注視着盛有紫色液體的玻璃瓶－－怎麼說呢，他可不是幹這個的。他是穿着長袍，對着沙子上畫的圖形沉思。其次，我們也許很容易把他想象為一個非常認真的人，全身心地投入客觀真理的事業。同樣，這跟紫色玻璃瓶一樣也是錯的。阿基米德不是一位現代科學家。他的是另外一種科學：在我們自己的職業化的、開頭大寫的“科學（Science）”之前的科學。

也許對阿基米德最好的介紹，是他自己在《論螺線》的引論中的敘述。這篇引論的形式是給他的同事多西修斯的一封信，阿基米德一開頭就提醒多西修斯過去寫過的信。阿基米德說，你還記得我提出了一些數學難題。我宣布了幾種發現，並請求其他數學家找到他們自己對那些發現的證明。怎麼說呢（阿基米德有些得意地寫道）－－沒有一個做到的！阿基米德繼續寫道，再說，該是揭秘的時候了：我宣稱的其中兩個發現好象“壞”了。例如，阿基米德宣布的“發現”是：如果球體被切成兩塊，並且表面面積比為a:b，那麼體積比則是a2:b2（參見圖２．１）。

我想強調，毫無疑問，從阿基米德論著的內部證據，他的確從一開始就知道這兩個宣稱是假的。他不是為了回過頭來保全面子：他寄出的確實是“壞”信，想要給同行數學家們設圈套。如他所述，他是這麼做的：“因而那些聲稱發現一切、又不給出證明者，在同意證明不可能這一點上，將被駁倒”。

你應該注意，阿基米德的性格並非柔和，也不是熱心認真型的。“愛開玩笑”，是能想到的第一個形容詞，“惡作劇”則是另一個。史學家不斷辯論阿基米德之發現的準確意義，不是沒有原因的：他就是要讓讀者迷惑。因此，他本可以附帶着給自己論著未來的歷史徹底添加趣料。他的書讀起來很花工夫，卻又讓讀者非常干着急，這正是阿基米德想要的。

阿基米德時代整個科學活動的結構，同我們現在熟知的相比有着根本的不同。那時沒有大學，沒有職業工作，沒有科研雜誌。確實，阿基米德死前大約一個世紀，已有一些“學院”在雅典成立。但它們同樣是與現代科研機關差別很大。它們更類似於今天的俱樂部，志趣相投者聚到一起討論對他們重要的問題（通常是哲學而非科學問題）。在亞歷山卓港，托勒密國王建了一座龐大的圖書館－－當時還有其它圖書館－－儘管這個同樣也不是研究機構的一部分，而純粹是為了顯示財富和聲望。因此簡言之，那時不存在科學職業，也不存在多少榮耀：畢竟，很少人能讀懂科學論著。通向榮耀的真正道路是－－在近代社會之前永遠如此－－詩歌創作。如果你想自己出名，想獲得某種永恆，你會去寫詩－－畢竟大家都能讀詩（在兒童早期，從《伊利亞特》和《奧德賽》開始，大家多少都能背誦）。

一個人怎樣才能成為數學家？你必須有機會接觸數學（比方說，通過做天文學家的父親……）。然後你就開始入門了。極少人吃過這個苦。我曾經估計，在整個古代數學歷史時期（大致從公元前５００年到公元５００年）可能只有過一千名活躍的數學家－－平均每年出生一個。我應該馬上澄清，更早先的人物（譬如畢達哥拉斯和泰勒士）根本不是數學家；“畢達哥拉斯定理”這個說法是後期杜撰的故事。數學是從公元前五世紀開始的（伯里克利和巴特農神廟的時代），然而當時的數學作者很少為人所知。或許最重要的人物，是希俄斯島的希臘數學家兼天文學家希波克拉底（不要和科斯島的同名希臘醫生混淆）。我們對這些作者的所有了解，都來源於後期的引文和評論。關於公元前四世紀，我們除此之外知道得更不多：阿契塔是柏拉圖的好友，是一位偉大的數學家－－但他只有唯一一項數學證明保留下來。即使這樣，同世紀後期的歐多克斯也沒有看上它。但是阿契塔兩次被阿基米德以傾慕的口吻提及。很明顯，阿基米德認為歐多克斯是他最了不起的前輩：但這位前輩的論著現已全部丟失。

歐幾里德的論著就沒有這樣的命運，我說的應該是他三世紀早期的論著。其中很多保留了下來。但阿基米德不會非常看重它們，因為這些主要是基礎數學。而阿基米德是一位高等數學家，寫的東西是給知識遠遠超過歐氏《幾何原本》內容的人看的。這樣的人當時肯定很少。我相信阿基米德的“聽眾”也許至多是二、三十來個分布在地中海附近的數學家：他們大多數住在隔絕的小鎮裡，焦急地等待着從亞歷山卓港（交易中心）投遞的下一封信－－阿基米德又寄來了什麼新的內容？

當阿基米德以私信展開文章的引論，這應該完全照字面去理解。這些確是私人信件－－寄給亞歷山卓港的人，然後通過聯絡關係進一步投遞。一切都依賴於這個個人的網絡。阿基米德在引論中不停地哀悼老朋友科農之死（一位重要的天文學家）。他是唯一能明白我的人！……在阿基米德大部分信件里，有一種微微的惱怒語氣：沒有可以跟他寫信的人，沒有足夠好的讀者。（最終會有的：阿基米德後來擁有的讀者包括歐瑪爾·海亞姆、列奧納多·達芬奇、伽利略、牛頓；這些人是阿基米德真正的讀者，正是通過他們阿基米德才造成真正的影響。他一定是知道自己在給後人寫書）。

其中許多論著是寫給多西修斯的，此人除此之外很少為人所知。我們確實知道一件事－－然而還是僅僅根據名字。我們發現，那時在亞歷山卓差不多每個叫多西修斯的人都是猶太人（實際上這個名字就是馬第亞胡或馬修的希臘語翻版）。這點很讓人好奇：阿基米德和多西修斯之間的書信，是唯一聽說的古代希臘人和猶太人之間的通信，或許它告訴我們，這種跨越文化的聯繫是通過科學進行的。畢竟，在數學王國中，宗教和民族是無關緊要的：至少這一點從未改變。

化圓為方

多漂亮的數學，卻寄給了多西修斯！首先是一篇《拋物線求積》的論著。然後是兩本不同的《球體和圓柱體》的著作。再接着是一本《論螺線》的著作（在這裡阿基米德透露了那個惡作劇）。最後是一本關於《錐形體和橢球體》的著作。（也許還有更多：這是五本保留下來的著作）。這五篇著作有某種一致性，因為它們一起構成微積分學的基石。當然，阿基米德很可能不會這麼認為。對他來講，它們都是“化圓為方”的各種變形。就是說：阿基米德不斷反覆地取邊界為曲線的對象，使其面積等於更加簡單、邊界最好是直線的對象之面積。很明顯，對於希臘數學家，這個難題（化圓為方，或者說，求圓的面積）就是科學的聖杯。

“測量”這個概念取決於直線的概念。我們用尺量東西不是沒有道理的。測量，就是找到某個量度工具，然後連續將它施用於量度對象。假設我們想要測量一條直線。譬如要量你的身高－－實際上這是說我們要測量從地板到你頭頂的直線距離。那麼我們要做的是，取一條一厘米長的直線並接連進行量度，量度的次數會大大超過一百次而很可能少於兩百次。因為這個過程比較冗長，我們便用預先標記好的量度捲尺，從而省去使用厘米長度反覆量度的麻煩，但在概念上所發生的正是接連的量度。

如果用面積取代長度，也是同樣做法，只不過現在不是用直線作量度單位，而是用正方形，還是接連施用於被測對象：這就是為什麼樓層平面圖是以平方英尺計算的道理。同理，體積用立方體來量度。當然並非所有物體都是簡單的正方形或立方體。然而，希臘數學家很早就發現了三條重要規律（參見圖２．２）：

· 每個以直線為邊的面積都可以分割成三角形
· 每個三角形（面積）都可以與半個長方形相等
· 每個長方形（面積）都可以與一個正方形相等

這三條事實加起來，意味着任意一個以直線為邊的面積有可能通過正方形的加和來量度。相似的道理適用於立體，它們被分割成金字塔形，然後讓後者體積與立方體相等。這些都很直接了當。取任意以直線為邊的物體。概念上可能有困難，一隻魔方或者亮晶晶的雪花－－但它的量度總是按照同樣的原則，確實很直接。然而，取一個像棒球一樣簡單的物體－－最普通的球體－－量度方法馬上就瓦解了。因為棒球不可能被分割成任意有限數目的有限金字塔形或者三角形。棒球有着無限複雜、無限光滑的表面。對這樣的物體，阿基米德重複不斷地量度，從這個角度把最基本的數學工具推到極限。

在《拋物線求積》一文中，阿基米德量度了一段拋物線形：它是它的內接三角形的三分之四倍（見圖２．３）－－非常引人注目的結果，因為拋物線是一條曲線，所以這很有些像化圓為方。另外，在同一篇論著中，他提出了一個大膽的思想實驗：想像一個幾何對象，好似由懸在天平上的物理薄片組成。

兩本關於《球體和圓柱體》的著作，直接處理球體的體積。結果這個體積恰是它的外接圓柱體的三分之二。它的表面積是多少？原來這恰好是其最大圓周面積的四倍（如圖２．４）。球形這種不好對付的物體，卻遵從一些非常精確的規則。第二本書解答了一些值得注意的難題：譬如，找到球體斷面之間的比率（以上提到的惡作劇的內容）。

在《論螺線》和《錐形體和橢球體》兩篇論著中，阿基米德沒有滿足於計量已知對象。相反，他發明了一種新的彎曲物體－－一種複雜而非直觀的對象－－然後量度它。結果證明，由阿基米德發明的螺旋線所圍的面積，恰好是它的外接圓之面積的三分之一（如圖２．５）。至於錐形體（將雙曲線或拋物線來迴轉動包圍的空間），或者橢球體（將橢圓來迴轉動包圍的空間）－－它們的量度更加複雜，然而結果都由阿基米德精確地算出（見圖２．６、２．７）。

阿基米德所有這些論著的一個主要特點是：他總是在開頭保證，說下面的計算會讓你不敢相信，於是你便期待他會多多少少玩些花樣，走點捷徑（否則怎麼能化圓為方？）。然而他真的開始讓你吃驚。他將沒有明顯關聯的結果聯繫在一起。線與線之間的一些比例。與手頭問題沒有直接聯繫的一些特殊演繹。然後－－大約在論著的一半之處－－他讓讀者看到所有的結果是如何結合到一起來的。“我的天！”你會驚嘆，“他實際上作了精確的證明，沒有玩任何花樣！”

阿基米德這裡的每項工作，都具有前所未有的獨創性和光彩。通過所有這些工作，他將無窮數學往前推進了一步。