虛構的對話

阿基米德在計算中採用一種驚奇、迂迴的方法－－這是他一貫偏好的解決問題方式。其一貫風格是：綜合運用“間接證明”和“潛在無窮”。

我們最好是把間接證明和潛在無窮看作虛構對話。間接證明的虛構對話比較容易了解－－你自己很有可能以某種形式使用過。你設法讓別人相信自己論點的真實性。譬如，你想說服你的對話者，當你畫一條直線連接圓周上任意兩點，這條直線上所有的點一定位於圓周之內。你跟他怎麼談這條線，他都不相信。於是你便求助於間接證明。假設反過來是正確的，你假裝同意對方。

“讓我們假設有一點Ｅ位於圓周之外”，你退讓一步（見圖２．８）。那麼根據這種情形下的邏輯，可以得出以下結論：直線ＤＺ既比ＤＥ小又比ＤＥ大。但一根直線不可能同時既小於又大於指定的同一直線。“你瞧，”－－你對虛構的對話者說道－－“我退一步先同意你的論點，但結果卻是荒唐的，因此你的這個命題一定是錯的。我現在間接地證明了它。”這一類證明是希臘數學的一個標誌。

潛在無窮並非阿基米德所發明，但通過一系列創造性的運用，他把這個概念變成了自己的。你還記得量度一個彎曲對象的根本問題：它不可能被充分劃分成三角形；放入任何有限數目的三角形，彎曲對象總會有某一小塊被“剩下”。現在讓我們將注意力集中到這個剩下小塊的大小。阿基米德所做的，是發明一種能夠無限擴展的方法，用三角形（或相似的形狀）填滿彎曲對象。再一次地，我們最好把這看作阿基米德及其評論家之間的虛構對話。

讓我們假設，他以某種方式填滿了彎曲對象，並剩下某個面積。其大小比一顆沙粒要大。

評論家走過來，指出這個差異仍有一粒沙的大小。

“是嗎？”阿基米德驚嘆道。“那好吧，我將我的方法再連續多用幾次。”等到這個操作結束時，剩下的面積已經比沙粒要小。

“等一等”，評論家說道，他還沒有滿意。“剩下的面積仍然大於頭髮絲的寬度。”

阿基米德很平靜，繼續應用這個方法，剩下的面積已小於頭髮絲的寬度。

“不行，不行！”評論家再次爭辯，“剩下的面積仍比原子大。”

評論家也許認為他最後勝辯了，但阿基米德繼續不斷應用他的方法。“你瞧，”他轉過來對評論家說：“剩下的面積現在已經小於原子了”－－如此不斷進行下去，差異總會變得比評論家提出的尺寸更小。

這個對話可以無限地繼續下去。這正是哲學家們所謂的潛在無窮。在這個證明中，我們從未真正達到過無窮本身（在任何時候都沒有提到無窮小地小的面積，而僅僅是非常、無限地小的面積）。但是我們允許自己無限地繼續下去。因此這一點，再加上間接證明，允許阿基米德量度令人難以置信的對象。

求拋物線面積

阿基米德在其科學生涯中，三次證明了拋物線形－－一種曲線對象－－恰好是它內接三角形面積的三分之四倍。這個是他最喜愛的量度。我們以後將會看到他最精彩的量度，超越了幾何本身。但是，在我們能夠跟隨這種想象馳騁之前，我們自己首先必須熟悉阿基米德的幾何方法－－其根基始終是間接證明和潛在無窮的結合。這是一個非常微妙的證明，一個甚至連專業數學家都很難解答的命題。它就像根據雙重否定得到的肯定。我們來看看它的道理。

既然我們所要證明的是曲線面積為三角形的三分之四，我們該如何開頭呢？當然，是假設曲線面積不等於三角形的三分之四！畢竟這就是間接證明的工作原理。讓我們假設曲線的面積大於三角形的三分之四倍，大過一定值：

１．曲線面積比三角形的三分之四面積，大過一定的差值。讓我們假設大過一顆沙粒。

對這種情況，阿基米德正好有一個不為人知的特殊方法。他準備用三角形填滿曲線區，使得三角形總面積和曲線面積之差小於一顆沙粒！

因此我們現在有兩個對象擺在一起。一個是曲線（面積）。另一個是阿基米德方法的產物－－一個複雜的三角形混合體，其面積與曲線面積之差小於一粒沙子：

２．如果拿掉一顆沙粒，曲線面積將小於三角形混合體（見圖２．９－１）。

到這裡，阿基米德將目前為止得到的結論擱置一邊。另一方面，以下一段推理利用到一個不同的幾何技巧。記住三角形混合體是以直線為邊的對象。曲線的內接三角形的三分之四也是以直線為邊的對象，也就是說，這兩者都是可以用常規手段精確度量的對象。所以毫不奇怪，運用幾何技巧可以得出有限的量度，比較三角形混合體和內接三角形的三分之四。阿基米德運用他的幾何技巧，得出如下結論：

３．三角形混合體小於內接三角形的三分之四（見圖２．９－２）。

現在，回想一下結論１。它是：“曲線面積比三角形的三分之四大一個沙粒。”或者，換一種表述：

４．如果拿掉一顆沙粒，曲線面積將等於三角形的三分之四。

把這一條與結論２並列：“如果拿掉一顆沙粒，曲線面積將小於三角形混合體。”

同一對象（面積）等於三角形的三分之四，卻小於三角形混合體；換句話說，三角形混合體較大－－大於三角形的三分之四。這也可以解釋為：

５．三角形混合體大於內接三角形的三分之四。

這一點如果和結論３（三角形混合體小於內接三角形的三分之四）放在一起，根本就講不通。

結論５和結論３明顯互相矛盾。並且無法調和。三角形混合體無法既小於又大於內接三角形的三分之四。換言之，我們只剩下一個選擇：斷定我們最初的假設是錯誤的。曲線（面積）和內接三角形的三分之四（面積）沒有不同。因此曲線就是內接三角形的三分之四。這就是結論。間接證明和潛在無窮的結合，讓我們獲得了結果。

超越潛在無窮

現在讓我們回頭，將這一切放入實際歷史背景中。十七世紀的數學家發現了一個途徑，在更大的範圍里應用阿基米德這個技術（這樣一來，就不必去為了不同的對象尋找不同的技巧，而是用一個一般通用的方法量度所有曲線）。這就是微積分，如上所述，它是近代科學的基礎。微積分的直接創始人是牛頓和萊布尼茲，你可能跟很多人一樣，想知道這兩人誰的貢獻更大：牛頓和萊布尼茲之間孰先孰後之爭，在科學史上是最有名，也是最醜陋的（如今多數古典學者認為，這應該被視為榮譽性的平手。）實際上，這兩人都跟隨了阿基米德。不僅如此，牛頓和萊布尼茲兩人都將微積分推進到非凡的高度－－在不穩固的基礎上。微積分的發明者並沒有清楚地解決處理潛在無窮的邏輯基礎。這個問題只是到了十九世紀初才被弄清楚，尤其是法國數學家柯西－－他基本上是回到阿基米德的隱含對話方法（“你給我找到一個面積Ｘ－－我會給你找到一個更小的差值……”）。我們的微積分，還有我們對潛在無窮的理解，它們發展的每一步，都深受阿基米德的影響。潛在無窮的概念先談到這裡。至於實際無窮的概念－－思考實際無窮組對象－－像牛頓和萊布尼茲這樣的數學家根本就沒有掌握它，而且直到十九世紀末從康托等人開始，才被理解清楚（如果能稱之為清楚的話）。

令人非常吃驚的是：同所有人想法相左，２００１年首次發現阿基米德當時了解實際無窮，並在數學工作中使用了它。這項發現來自於“羊皮書”，毫無疑問，這是該書再次面世以來最重要的發現。

論證和物理學

這項新發現，是閱讀阿基米德《方法論》中一段過去從未有人讀過的文字而獲得的。阿基米德所有著作中，這篇著作最具魅力，僅僅在“羊皮書”中單獨保留下來。它之所以有如此魅力，是因為與所有其它著作相比，阿基米德在這裡更多地將他的兩大興趣結合在一起：前面所談的無窮數學，以及數學同物理的結合，純幾何表達同物理世界表達的結合。這一切都出自平衡。阿基米德第一個從數學上證明了平衡定律：物體處於平衡狀態時，它們的重量與它們到支點的距離恰好成反比。他在《方法論》一文中向前更進一步，提出一個令人驚奇的方法：取幾何對象做思想實驗，將它們放在天平上。然後用它們的重量（也就是說，長度和面積）以及到某個中心的距離，量度一些純幾何性質。平衡定律從物理工具變成了幾何工具。這項工作沒有跟其它論著一起寄給多西修斯。實際上這也許是因為阿基米德將它看得特別重：他把它送到了當時最有影響的學者埃拉托塞尼手裡。埃拉托塞尼學識淵博，其著述涵蓋從荷馬到天文學、從素數到柏拉圖的一切內容。因此他的綽號成了“貝塔（Beta）”，意思是所有領域的第二號人物……阿基米德雖然從不含糊將自己看作本領域的頭號人物，仍然抱以極大的尊敬同埃拉托塞尼交流，但他看起來幾乎在戲弄後者－－好象在說“看你能不能追到我！”這是阿基米德最吸引人的工作，部分原因是它謎一般難解。阿基米德暗示，他已經發現了一種找到數學結果的方法，非常厲害但不能算作證明。然而他從未解釋，這到底是什麼樣的方法，為什麼缺乏實際證明。他將這點作為一個謎留下，讓讀者自己從文章中琢磨解決－－第一位讀者是埃拉托塞尼，接下去的讀者，是自十二世紀發現《方法論》一書後研究古代數學的每一位史學家。每個人都有一套關於《方法論》的理論。以下的章節我們會再回到這個謎上來－－在重新讀過“羊皮書”後，或許能更好地了解它。

當然，阿基米德認為自己是數學物理創始人的理由不僅僅來自《方法論》一文。他在這個領域裡的研究，仍舊現存的有兩項主要工作：《平面平衡》和《論浮體》。在後面將要討論的《平面平衡》裡，阿基米德找到了三角形的重心，這是靜力學的一個關鍵結果。《論浮體》為另一門科學－－流體靜力學－－鋪平了道路。這項工作為維特魯維斯提供了素材，炮製出一個阿基米德在浴缸里濺水花的親切而可笑的故事。他也許確實弄得水花四濺，他也許真地赤裸着跑了出來；但他一定沒有大喊“有了”，因為“物體越大濺出的水越多”之類的觀察實在太不足道了。《論浮體》中的演繹要微妙複雜得多。我們來看看它的道理：

在穩定的液體中，每部分相等體積的液體必有相等重量－－否則液體會從較重一方流到較輕一方（這就是為什麼海面是平的）。即使一塊固體浸沒於這部分液體，結論還是一樣。換句話說，如果我們有一部分液體，固體浸沒於其中，液體和固體的結合重量一定等於同樣體積液體的重量。因而我們斷定固體一定會失去一些重量－－阿基米德作的複雜演算顯示，它失去的重量相當於它所排掉水的體積。

這就解釋了為什麼我們在浴盆里感覺更輕；的確，它準確地告訴我們應該感到輕多少。這樣的成果才值得大叫“有了”！因為你看阿基米德光靠純粹思維的力量，就能夠預言物理世界中必然發生的事！這種物質之上的智慧力量正是阿基米德的科學引人入勝之處－－這恰是伽利略和牛頓想要效仿的－－而且居然成功地效仿。因而，牛頓終於利用純粹思維的力量－－還有微積分－－發現了行星運動所必須遵循的規律。而且通過這項阿基米德式的成就，牛頓為後世所有的科學鋪平了道路。

難題和數字

牛頓的科學屬於冷靜嚴肅型；阿基米德的科學卻不是。阿基米德出名的是設局、猜謎、玩迂迴。這些並非他文字的一些外在特徵，而是表現了他科學個性的特徵。科學－－數學－－並非枯燥，跟個性無關。這是任人自由暢想的地方。所以，阿基米德任由想像力馳騁，然後搞出一個兒童智力遊戲“瘋狂玩具”，又名“肚子痛”（因為它的難度）：也就是十四巧板，用來拼正方形。阿基米德想知道：這個難題的數學基礎是什麼？

實際上，這對我們現代古典學者來說也是個難題。自從１９０６年我們開始知道阿基米德研究過這個“十四巧板”難題。但他究竟想幹什麼？我們唯一的線索是“羊皮書”的一張折頁－－保存得很糟的一頁。海伯格（二十世紀初丹麥語言學家）很難理解希臘人，更是一點不理解希臘數學。現代數字技術終於能讓我們讀到更多的原稿內容，於是在２００３年，我終於提出對“十四巧板”遊戲的解釋－－現代歷史上的第一次。我證明，阿基米德試圖做的是以下事情：算出有多少種不同方式，可以用十四巧板拼成正方形。如圖２．１０所示，這種方式不止一個。實際上，有一萬七千一百五十二種不同的方法。

有關這個解釋最驚人的，並非這個巨大數字，而是另一件事：如果是對的話（多數史學家認為我很可能正確），那麼阿基米德將成為組合學－－計算給定問題可能答案數目的數學領域－－有史以來第一位作者。那麼，這是從“阿基米德羊皮書”獲得的第二項重要發現。

組合學領域，是現代計算機科學的核心，但在阿基米德那個時代沒有如此重大的應用，並且從本質上非常有別於我們在希臘數學中常見的那種幾何研究。的確，“十四巧板”看起來像純粹的恣意猜想。你尋找一個數，因為它在那裡。接下去你推導出一組奇妙的複雜演算。阿基米德畢竟是這種遊戲的大師，善於尋求大數和奇妙組合。他有一篇論著（現存）題為《數沙者》，計算要花多少粒沙子才能填滿宇宙（為此他需要估算宇宙的大小－－他用到他父親的估計）。然後，他給出那個最著名的圓周和直徑之比的極其精確的近似（我們今天所謂的圓周率）。他設法找出了這個比率，小於14688比4673½，但大於6336比2017¼－－這個比率又被他簡化為（丟掉一點精度但結果清晰得多）：小於三又七分之一，並大於三又七十一分之十（!）。這項令人驚訝的演算所依據的方法類似於前面對潛在無窮系列的處理，唯一區別是，在圓周情況下，精確演算是不可能的，因而近似是最好辦法。所以，阿基米德計算的不是園周長，而是一個九十六條邊的多邊形－－從視覺上它同圓周幾乎相同（參見圖２．１１）。

也許最驚奇有趣的演算，當數阿基米德的那個太陽神之牛的故事。讀過荷馬史詩《奧德賽》的人會知道其中的故事背景。在第十二卷中，奧德修斯的船隊到達瑟銳尼撒島，一個奉獻給太陽神的神聖島嶼。奧德修斯的船員違背他的忠告，經不起誘惑而屠殺太陽神的牛，然後大擺宴會－－吃了整整七天！然後，在剩下的艱險旅程中，他們不斷地為這個罪過受到可怕的懲罰。傳統上認為這個島嶼就是西西里島，所以這個故事可以變成歌頌西西里力量的一首詩，警示外人莫去干預。阿基米德將這段故事又放到另一個謎語裡，一個通過詩歌表達的數學難題：

朋友，請幫我計算眾多太陽神之牛，
保持努力－－如果你參與智慧之旅：
多少牛曾經在西西里平原上吃草，
分成四大牧群的瑟銳尼撒島嶼，
在色彩中緩舞……
［詩文大約有三頁長，其中是許多數學限制，例如：］
……白色公牛
是黑牛的一半加三分之一
全體黃牛，朋友，請了解這……

簡而言之，阿基米德構想出一個算術問題－－含八項未知數（有四大牛群，黑牛、白牛、黃牛和花牛，每一群都分成公牛和母牛），七項方程式（例如上述的：［白色公牛］＝½［黑色公牛］＋⅓［黃色公牛］），以及另外兩個複雜的條件：答案明顯必須是整數（不存在半頭牛）。結果發現，企圖解答這個問題，就像原故事中屠牛一樣，實在是一件不該做的事。你要試的話，危險自負：現代數學家已經證明，即使最小的答案，也含有一個寫出來達二十萬六千四百五十六位數的數字。

這是一個遊戲。因為以上的介紹－－帶着韻律的短句－－不是我的異想天開。阿基米德自己用詩歌形式寫出了這個問題。一位詩人數學家！－－這個念頭對我們似乎有點荒謬，但對阿基米德來說是自然的，他的整個科學都是建立在消遣和美感、以及深藏的意義之上。毫無疑義在這個例子裡，除了其它方面，隱含的意義是政治性的：阿基米德想暗示，任何人都不要干涉西西里島。在那個時代，很多人都這麼幹過，阿基米德做了他最大努力阻止這些人。這裡，我們再一次回到阿基米德一生的史實。

死亡和來生

敘拉古是西西里島最大的城市－－東、西地中海之間的樞軸。早先的入侵者都想占領它，最有名的是雅典在公元前４１５年，試圖以武力強迫伯羅奔尼撒戰爭的結局，掠奪西西里島的財富。那次遠征的徹底失敗標誌着雅典帝國的末日。

因此，敘拉古人帶着一股現實的希望，在公元前２１４年等待着羅馬大軍的到來。敘拉古已經整整一代人都處在有名無實的自由中，深深地陷於羅馬帝國勢力範圍之內。無容置疑，阿基米德跟其他大多數公民一樣，熱切期待着擺脫羅馬這種間接的控制。漢尼拔最近對羅馬軍隊的勝利，看起來使這成為最終可能。敘拉古公開與迦太基人站在一邊。除非羅馬人能包圍和降服這個城市，他們自己的命運已被判決。因為漢尼拔會通過西西里重新補充給養，而羅馬人的元氣還未從最近的災難中恢復過來。羅馬軍隊由於力量消耗很大，經受不住連續幾年的圍城。因此地中海的命運便依賴於這個問題：敘拉古能堅持足夠長時間嗎？

在此之前的世紀見證了一場軍事革命。從古希臘重裝備步兵在戰場上撞擊的戰爭，演化出一種新型作戰方式－－圍困戰。這種軍備競賽的古代版本，便是所有城市都在建造城牆，而同時所有軍事力量都在製造和裝備投石機－－正是這些機器推動了軍事革命。原則上講，投石機無非就是一把巨大的彈弓，一旦發射，能把岩石彈出，撞入城牆或人堆。它可以達到令人驚異的效果，最終摧毀非常堅固的城防。但另一方面，你必須把投石機搬到城牆的射程之內－－那裡正好可能也是城內守方的投石機射程之內－－因此，軍備競賽一直不斷。

羅馬人充分預料到敘拉古人會朝他們彈射岩石。然而他們還是註定要吃一驚。我現在引述波利比奧斯的話，他是一位非常清醒的史學家，在這些事件發生後不久作了記錄－－這是我們研究阿基米德生平的最佳來源。下面便是敘拉古給入侵者出其不意的打擊：

但阿基米德建造並準備了能達到任何射程的更為強大的投石機，從遠程上狠狠打擊了海上的進攻者［第一輪襲擊是由海路］，使對方陷入極大困境；一旦這些投石機射得太高，他就隨着射程的變短不斷使用越來越小的機器，最終他徹底動搖了敵人的勇氣，從而完全阻止了他們的進攻……［羅馬人放棄了攻擊，波利比奧斯總結道：］一個人的天才自我展現出來，竟是如此偉大而奇妙……無論海上還是陸地都十分強大的羅馬軍隊，如果不是敘拉古的一個老人，本應完全有把握立即拿下該城；但是只要他在，他們甚至都沒有膽量作進攻的打算……

阿基米德幹了什麼？畢竟，投石機在他之前就很出名了。讓羅馬人完全手足無措的，是守軍投石機的精細瞄準和排列。沒有任何“盲點”，這是個關鍵理由；否則敵人找到那些盲點，就能安全地從一點跳到另一點，大大地突破防禦體系。

怎樣才能避免盲點、瞄準投石機呢？這是個很難的問題，靠簡單的反覆校正根本無法解決。你必須有一個原則，按具體要求訂製投石機－－也就是說，置於指定點的投石機，能覆蓋精確的射程。

這裡的核心，是一個深刻的幾何學問題。投石機的推力與其質量大致相當（這決定了所施力的大小）。而質量又與其體積大致相當。那麼，我們如何量度體積呢？就像我們量度表面積一樣：將各維尺度相乘（表面情況下是兩個，體積情況下是三個）。因為固體是三維的，它的體積相當於線性維度的三次方。讓我們舉個例，你有一台投石機，長度是一碼，你想把它改造成雙倍威力的投石機。明顯的錯誤是將長度增加到兩碼：兩碼長的投石機威力不會是兩倍，而是八倍。那麼如何讓投石機具有兩倍的威力呢？為此我們必須找出二的立方根（大約為１．２６），然後按這個比率推出相應長度（以及所有其它線性尺寸）。求立方根絕非一件易事；它其實要求極強的數學技巧。希臘數學家們已經研究過這個問題，但鮮有人得到實際可用的解答。這些解答無一是在阿基米德的名下，但毫無疑問的是，他在公元前２１４年已發現並運用了這樣一個技巧。

但我感覺到事情不光是這些。這裡是我自己的一番純粹的恣意猜想。畢竟，因為阿基米德知道飛石會在哪裡着陸－－亦即，他在想象中跟蹤飛石軌跡曲線－－那他難道不會專注於用幾何曲線表達拋射運動的問題？他難道不會找到曲線－－他心愛的拋物線－－並用它來決定投石機的擺放位置？因為，畢竟阿基米德的學生伽利略和牛頓這麼做了，他們的想法所依據的數學技巧跟阿基米德自己的沒有多少不同。伽利略研究了拋物體的運動，牛頓研究了行星的運動，用的正是同樣的拋物線。毫無疑問，阿基米德在建造那些機器時，本來會思考這些有趣問題的！

按照傳說：我們想象公元前２１２年，阿基米德正在思考問題。圍城的羅馬人差不多被擊退，阿基米德的天才戰勝了羅馬人的力量。自滿情緒開始滋生。敘拉古人在狂歡慶賀，一名逃兵給羅馬人通風報信，說哨兵們喝醉酒離開了哨位。羅馬統帥馬塞拉斯迅速派遣一隊戰士占領城牆上的位置，在這種戰鬥中，只要突破口一旦打開，遊戲就結束了。很快羅馬軍隊突襲了城市。他們沒有多少需要仁慈的理由：敘拉古一直盼着羅馬垮台，現在羅馬時運倒轉正是得意。即使對於羅馬人，劫城的規模也屬於史無前例－－他們拿走一切可以搬動的東西。

我們了解到，羅馬人的戰利品包括一個巨大的行星儀－－阿基米德自己製作的一項科學珍品。我們還了解到，馬塞拉斯意欲抓獲阿基米德本人，並帶回羅馬。但是－－歷史上總是這樣－－隨着搶劫而來的是愚蠢的瘋狂濫殺。這段有名的傳說出自布魯達克：

他自己一個人，正在藉助圖形研究某個問題，他全神貫注，盯着研究對象，他沒有意識到羅馬人侵入，城市被占領。一名士兵無意中突然發現了他，於是命令他跟着自己去見馬塞拉斯。阿基米德拒絕了他，說要等自己研究完問題、確立論證後才行，於是戰士大怒，拔出劍來，殺害了他。

傳說就到此結束。（布魯達克本人考證了其它幾種說法，而真相仍可能是另一回事。）但這是個比較適當的傳說。幾隻無知的手切割一份他們看不明白的科學遺產，幾乎斷送了阿基米德給人類留下的財富。然而，阿基米德沒有死。

我們的結論要以清醒的歷史事實為依據，而不是傳說。讓我們跟隨一下公元前７５年的西塞羅。這時阿基米德已經死去一百三十七年了。西西里是一個羅馬省份，是完全被征服的地中海的一部分。西塞羅本人是個財務官，屬於島上的高官。他也是一個有教養的人，對希臘科學遺產有着深深的敬意。他聽說過阿基米德的舊墳，儘管被遺忘了許多年，他還能再找到它。墳上的舊碑文（阿基米德本人要求的）仍在：一個球體，還有一個剛好與其外接的圓柱體。

阿基米德證明了前者（體積）永遠是後者的三分之二－－同樣推理的傑作，使他極盡人類所能，逼近圓面積的值（化圓為方）。墳上的圖形是不朽的。阿基米德第一個發現了深刻的、革命性的真理。這些發現最終導致了科學的誕生。但是首先，他的著作必須生存－－穿過歷史的海洋，使近代科學在彼岸得以誕生。