我們可以從手稿中了解到很多東西。首先，我們能從中整理出有用的文字。我們能發現，生活在公元前三世紀的敘拉古，阿基米德有過什麼樣的思想。我們能發現，這樣的思想是怎麼影響到後世的所有科學。

而且我們能得到更多的東西：我們從手稿中不僅能夠發現古代學者的思想，還能夠知道他們是如何獲得這些思想的。阿基米德是怎麼通過他的數學進行思考的？他的讀者又是怎麼思考的？近期的科學研究對認知的轉向，使我們提出這樣的問題。要回答這種問題，我們必須從手稿開始，因為它們為這個基本問題的憑證提供了唯一來源：科學是如何在人們腦海里留下印象的？

事實上，現今我們大家頭腦中對科學都有相當清楚的認識。作為一個例子，讓我們來考慮以下實驗。圖４．１顯示的是兩本書中各自翻開的一頁。花點時間瞧瞧：儘管它們字很小讀起來費勁，但我們從中可以立刻得出一些結論。我們知道左邊那頁是有關科學的。實際上它是來自一段介紹微積分的文章（阿基米德是微積分研究的先驅，這一點我們還將談到）。右邊那頁來源於詹姆斯·喬伊斯的《芬尼根守靈夜》（剛巧，它的內容和左頁相比難辨得多）。

當出版商們說，他們不敢出版“看起來技術性太強”的大眾科學圖書，他們的意思是，希望出版物看起來象右頁，而不是左頁。今天的讀者害怕什麼？他們害怕方程式。理由很充分：他們在青少年期間，多年來一直被強制接受方程式。結果導致兩個傾向，第一，我們討厭方程式，第二，我們認為它們是科學之類學科的一種天然形式。這兩種假定都是錯誤的。方程式是個了不起的發明－－即使你不喜歡它們，也應該尊重它們－－此外，他們並非自然而然的。相反，它們是一項歷史發明，起源於類似“羊皮書”這樣的文稿。希臘人沒有用過方程式。阿基米德也沒有用過方程式。他們的科學看起來了一點不象圖中左頁那樣。

方程式之前

方程式使得邏輯清晰可見。假設你說：“第一項與第二項加和等於第三項；因此第一項等於第三項減去第二項。”

你得先想一想，才會明白其正確性。但這就是麻煩：你必須先想一下；與此同時你的注意力已經轉移，推理思路也許就斷了。反之，將這思路寫下來：

A + B = C，因此
A = C - B

結論毫不費力就出來了：我們的眼睛看見了推理是怎麼進行的。這時，注意力沒有丟掉，我們能夠繼續輕鬆地推理下去。

我們看到，同樣的信息通過不同的表達方式，作用很不一樣。不同的載體方式很是重要，這不僅悠關科學的生存，同時也是因為其本身特點。的確，我們要真正理解古希臘科學，必須首先了解其基本表達方式。然而，這個表現方式不是方程式，而是圖形。

希臘數學乃視覺科學

我們的出發點應該從敘拉古開始。特別是從前文詳述的西塞羅故事開始：阿基米德的墓地。我們回憶西塞羅在經過一番努力之後，發現了一塊孤零零被人遺忘的石板，上面是阿基米德為自己挑選的墓志銘：畫有一個球體和一個圓柱體的圖形。這是自我選擇的科學符號。我們情不自禁再一次與愛因斯坦作比較。愛因斯坦的象徵是什麼－－能即刻浮現在腦海中的符號？不，我不是說他吐出的舌頭；我是說這個：

E = mc2

你已經無數次見到過這個符號。它不僅成為愛因斯坦的象徵，也成為一般科學的象徵。當然，它只是一項方程式。那麼簡言之，這個出發點就是：現代科學是方程式科學；古代科學是圖形科學。

古代的精確科學－－不僅是數學，還有天文學和力學－－以及許多其它領域，譬如音樂理論，總是以圖形為中心。正文由許多單一的“命題”組成，每一個命題證明某一論點是正確的。已故的希臘數學史學家、英國人大衛·富勒曾說，每個命題是“畫出圖形，然後由此講故事”。一切內容都圍繞着那些圖形。

顯然，圖形也廣泛應用在現代科學中；但這裡有一個很大的區別。現代科學中，圖形是作為一種插圖示範；其目的是幫助學生學習和掌握科學，而不是作為論證邏輯本身的一部分。現代科學中很關鍵的一點，是要確保任何信息都不倚賴於圖形，否則如圖４．２所示，你有可能得到一個錯誤的證明。

一個三角形的面積是其兩個較短邊的乘積再除以二。

證明：我們畫一個三角形ABC。兩個較短的邊是AB、BC。在其中較長的邊BC之上，再放一個與三角形ABC完全相同的三角形，即三角形BCD。結果是一個長方形ABCD。該長方形的面積很明顯是兩個邊AB，BC的乘積。三角形ABC顯然正好是長方形ABCD的一半（畢竟兩個三角形ABC，BCD完全相同）。所以，一個三角形的面積是其兩個較短邊的乘積除以二。［證畢］

這個證明錯在哪裡？因為，它只是根據圖形作假設，儘管正文中並沒有提到這種假設的根據。圖中我們湊巧畫出一個直角三角形。對一個直角三角形，該證明是成立的。但對其它三角形就不成立了（參見圖４．３，其中兩個較短邊的乘積顯然比三角形面積的兩倍還要大！）。簡而言之，我們以為我們在討論一般的三角形，但是我們卻一不小心轉移到了直角三角形，這都是因為我們輕信了圖形。所以，現代哲學家和邏輯學家們堅稱：不要倚賴圖形！

這裡涉及一個深刻的邏輯和哲學問題：語言是一般的，而圖形是個別的。你不給它具體的個別特性，便無法畫出一張圖來。假設我想畫一個三角形，它的角既不是直角，也不是銳角，也不是鈍角，而是一個“一般”的角－－如何能做到？我無法做到。我在紙上畫了某種確定的三角形，因為它是一個確定的三角形，它也具有某種確定的角。而另一方面，語言卻更加包羅萬象。我可以說，“假設有一個三角形”，因為我並沒有說哪個三角形－－我只是說“一個三角形”－－我可以認為它是直角、鈍角或銳角的。因此現代哲學家和邏輯學家堅持如下觀點：為了確保證明的邏輯在一般意義上充分有效，我們必須僅僅依靠語言，而絕不能依靠圖形。

希臘數學家們恰恰是依靠圖形的，難以置信的是，居然沒有出任何邏輯性錯誤。這是有關希臘數學的一個巨大不解之謎：它完全是圖形式的－－同時也是完全正確的。希臘數學家從未犯過譬如上面簡單例子那樣的錯，哪怕是微妙而間接的錯誤。希臘數學同現代數學一樣地準確。怎麼會呢？在後面幾頁，我會試着給出一個答案。

首先，讓我們看看希臘數學家到底是如何依靠圖形的。下面的內容取自於《球體和圓柱體》的第一卷－－阿基米德墓碑上展示的不朽成果。正如我們已經提到的，阿基米德的文字有種頑皮的風格－－機智而又風趣，總是在讀者面前將論證的要點隱藏到最後一刻。因此毫不奇怪，這本書在前面幾乎一直沒有提到球體和圓柱體。反之，阿基米德不斷反覆地提及圓錐體。例如，這裡是命題十七（參見圖４．４）：

假設有兩個等腰圓錐體ABG，DEZ，假設錐體ABG的底面與錐體DEZ的表面（面積）相等，再假設高度AH與從底面中心Q向錐體一側（例如DE）所引的垂線KQ（長度）相等；我要說的是，這兩個圓錐體是相等的。

這裡的命題是根據圖形提出的。圖形是命題中的點和線被賦予意義的唯一之處。這些是通過字母標出來，跟我們今天的方式完全一樣；實際上，是我們繼承了希臘人的發明。（中國人過去用另外一種方法：每條線的標記方式，好似它有不一樣的顏色。但除此之外，他們的文字系統大不一樣。）

對於一個古典學者來說，最大的困難之一便是注意那些很顯然的事物。“我們鼻子底下”的東西常常是最容易忽略的－－但是，一旦你注意到這些事情，它們可能變得很有價值。我就有這樣一個時刻，當我正在思考希臘數學中這種簡單的段落。我在自己的博士論文第一章中作出這一觀察，坦率地說，我的大多數同行正是通過這一點了解我的工作。我大概死了以後仍然會被說成“對希臘圖形發表那種看法的那個傢伙”－－對此我覺得很煩惱，因為這大概是我作為古典學者做的第一件事。（我確實希望從此開始不全在走下坡路！）但，這是一項重要的觀察－－因為它明確顯示，希臘數學家並沒有按照現代哲學家和邏輯學家所希望的方式工作。他們的確依靠了圖形。

因為，你可以看到：在例如“圓錐體ABG，DEZ”的表達中，我們可以很容易猜測這些點ABG，DEZ中，每一點代表截過圓錐體的三角形的頂點（參見４．４）。但我們怎麼知道這些字母各自如何分布的？每個圓錐體中，兩個字母必須在底面，一個在頂點－－但哪個是哪個？這正是使觀察變得很難的地方：因為視覺信息非常強有力，我們一旦看到圖形，立刻就能“讀取”信息，確定BG，DZ是底面，A，E是頂點；我們甚至沒注意到，正文中根本沒有這樣說。事實上，這是貫穿希臘數學的一般規則：對象的描述不是通過文字，而是通過圖形。圖形並非作為插圖而方便我們閱讀；它們提供的是我們所需的最基本信息。圖形告訴我們命題中誰是誰：哪個字母位於哪個對象旁邊。古代圖形不是示範用的，而是提供信息的；他們構成命題邏輯的一部分。故此，希臘科學是一門視覺科學。

那麼，為什麼希臘數學家沒有從圖中的信息犯下簡單的錯誤？他們是如何保持邏輯完美的？這個原因同希臘數學利用了一個非常特殊的表達方式有關：微妙而高明的用圖方式。

敘拉古之沙

阿基米德的圖看起來是什麼樣子？我們現在能看到，按照威爾對手稿歷史的解釋，對這樣的問題我們沒有比較直接的憑證。實際上，我們有的最早期憑證，就在“羊皮書”當中。你的第一反應也許很絕望：如果我們的憑證遠遠不夠原始，那我們還有什麼機會達到目的呢？我們怎麼可能對了解古代圖形的樣子寄予比較實際的希望？的確，這是個困難的問題。原則上，我們沒有任何保證可以回答這個問題。有可能的是，中世紀的抄錄者乾脆發明了他們自己的圖形，而不是忠實無誤地按古代原本抄錄。畢竟，現代的編輯很顯然就這麼做：發明他們自己的圖。當我開始研究阿基米德的中世紀圖形時，我無法知道中世紀抄錄者是否也這樣做。我最大的恐懼就是，我到了巴黎、羅馬、威尼斯和佛羅倫薩，每次打開一本古書，發現那裡的圖完全不一樣。如果情況真是那樣，我的結論肯定是，古代圖形無法重新構造。

與之相反，我打開那些書，一頁頁、一張張地查看，它們的圖全是一樣的。錯誤也會有，但都是偶然的。有些手稿中有更正，另一些沒有（這說明原稿也許含有錯誤，有些被抄寫人看了出來）。但是很清楚，圖形都是相關一致的。它們都是複製的，不是發明的。簡而言之，你可以運用文獻學方法。我們拿不同的手稿進行比較。如果兩份不同的手稿具有同樣的文字－－或圖形－－那麼這意味着兩者肯定有一個共同源本。這就允許我們回溯並推斷一個更早期的源本。雖然我們不可能肯定這一更早期的源本一直能回溯到阿基米德，但我們要設法將憑證儘可能往回追溯，這一點仍然非常重要。

所以必須強調這一點。有時讀者會失望，因為“羊皮書”一書並沒有全部包括阿基米德的所有著述。有些著述包括在“羊皮書”以及古抄本A的各種後期版本中。但這絕對不是降低了“羊皮書”的價值。相反，從文獻學方法看，具有不止一處來源這點極其重要。光拿“羊皮書”一本書，它能告訴我們關於公元９７５年的事情。但是每當我們拿“羊皮書”和其它獨立的中世紀資料來源作比較時，它一下能夠提供多得多的信息。每當我們發現“羊皮書”和另一份獨立的中世紀手稿講的是同樣故事－－每當出現這種情況－－我們就能將日期往回推溯，可能是歐托修斯時代或者更早期的來源，這兩種歷史記錄從那裡開始分支。這一點便將我們與阿基米德的世界大大拉近。

這項工作的性質是複雜的。終究，古抄本A本身不復存在，我們必須重複運用兩次文獻學方法。我最初研究阿基米德手稿的計劃僅限於古抄本A的後期版本（別忘了，當我剛開始這項工作時，“羊皮書”還沒有出現）。因此我研究了那些手稿。

阿基米德的著作里大約有二百五十張圖，先讓我們拿其中一個舉例：圖４．５中，我們看到《球體和圓柱體》第一卷、命題三十八中圖形的各種變體。根據這些變體，我能夠重新構造古抄本A中丟失的圖（圖４．６）。你可以看到，各種變體之間的相似性如此之高，使我的重構結果相當可靠。只有一個細節：有兩個抄本畫有一條線AB，其餘的抄本沒有。因為線段AB不為正文所需要，我猜想它是在原圖中就有的。留心一點的抄寫人乾脆就把它刪掉了。有兩位抄寫人不太動腦子，只顧抄寫他們眼前的東西：正是這個原因，他們成為更可信的證人。這是文獻學方法中一個有名的悖論，所謂的lectio difficilior（“更難的解讀”）：一段很差的文字很可能正是原始的文字。

這本身包括了相當一部分時間旅行：古抄本A的變體源自於十五、十六世紀，古抄本A自身（象“羊皮書”一樣）很可能出現於十世紀。文獻學方法已經讓我們贏得大約５００－６００年：我已從文藝復興旅行到了中世紀。但我還想繼續我的時間旅行。我需要一台時間機器將我從中世紀帶到古代。

威爾·諾爾邀我去看“羊皮書”的電子郵件，恰好提供了這樣的機會。這就是為什麼我會很激動。我就想看那些圖。再說一次，這一點是個關鍵的決定。要麼那些圖形與古抄本A中的大致等同－－這種情況下我能重新構造古代圖形；要麼他們是不同的－－這種情況下我對“最初的阿基米德”的探索將停止在公元９７５年左右；結果也許是，拜占庭帝國的抄錄者整個發明了自己的圖，而不是從原件複製。

這裡是我第一次去巴爾地摩時所見到的－－比較模糊，但形狀已經足夠熟悉：我看到了同樣的圖。的確，利用數字成像技術，我可以很有信心地重新構造此圖。我把從古抄本A重構的圖和“羊皮書”的圖並排放一起（參見圖４．７）。你看到他們幾乎是等同的。這一條，是圍繞着“羊皮書”的最為重要的發現之一：這是重新構造阿基米德圖形的基石。

讓我們按照文獻學的方法繼續下去。“羊皮書”不包括線段AB，並且它在圓周底部加了個字母A。那麼，很容易想象抄寫人在匆忙之中會如何忘掉單獨一個字母。因此，我把古抄本A中缺掉的字母A歸結於抄寫人的錯誤，並假設它在共同的原型中是存在的。至於線段AB，就不大清楚了：它在這裡是錯的，既然只有唯一一本手稿（古抄本A）有此錯誤，因此完全有可能只是古抄本A的抄寫人一人犯下的錯誤。當然，也有可能是一個更早期的錯誤，然後被“羊皮書”的抄寫人更正，擔卻沒有被古抄本A的抄寫人更正。不過，我現在對“羊皮書”的抄寫人有足夠的了解，我可以告訴你，他一般不更正幾何上的錯誤：從他所犯的一些荒謬錯誤判斷，他顯然對數學一竅不通。換句話，我相信線段AB沒有出現在他眼前，也就是說，它不存在於作為兩種古抄本A和“羊皮書”的共同原型的手稿中。至此，我完成了文獻偵探工作，我認為，“羊皮書”保留了阿基米德《球體和圓柱體》第一卷、命題三十八（如圖４．７）的古代圖形，因而我們可以一路回溯到敘拉古。現在讓我繼續下去，考慮這一論點在概念上的深層意義。

希臘圖形的邏輯

再次來看這個圖。我剛說過，我相信它和阿基米德本人在敘拉古沙子上所畫的圖是一樣的。我還相信，它說明了一個有關希臘圖形的最關鍵的事實－－一個讓圖形成為極其成功的認知和邏輯工具之關鍵。它解釋了為什麼古代圖形的確對數學證明作出了貢獻，這點有悖於現代哲學家和邏輯學家的所有言論。

我首先需要跟你談談線段AZHBQDG。如圖中那樣顯示的，這些線段看起來像弧形序列，非常像一個古代列鼓的圓形邊。但是，它們在幾何學上代表什麼？它們代表一個多邊形－－亦即直線序列。的確，從圖４．８你能看到現代的編輯如何選擇表示同樣的圖。他用直線代替弧線。他更喜歡直截了當。如果這是多邊形，就讓它看起來像個多邊形。不像阿基米德，他似乎完全有可能用一個圓弧序列來顯示多邊形－－誰會關心它看起來怎麼樣？

這不是一個孤立的例子：譬如，可以比較我們在命題三十中重構的圖形（參見圖４．９）－－這篇論著里一共有十四例同樣類型的圖。圓弧在這篇論著中形成了繪圖的原則，並且有着深刻的意義。

首先，我相信沒人膽敢違抗手稿界的權威，引入這種極端的規定。假設你是抄寫人，有報酬地複製原稿中的圖。原稿中有多邊形。那麼，你將它們原樣複製為多邊形：你不會發明圓弧來取而代之。這個原因－－無人願意引入這種違反原稿的習慣－－在手稿承傳的每個階段會一再重複。這種習慣規定的唯一解釋，是假設作者自己是這麼要求的。因此這個習慣規定將我們帶到敘拉古海岸－－與阿基米德面對面。請允許我坦白：這個想法確實激發了我，也使我感到一種敬畏。因為圖形有一種特別的“有形可觸”的感覺。字是概念性的，圖是物質性的－－他們是有形的。這便是阿基米德如何在手裡拿根棍子描畫圖形的樣子。如果我確實沒錯，而且我成功地重新構造阿基米德的圖形，那麼我就重新構造了他身體的某種延伸：那些是他個人留下的痕跡。

考慮下一個概念。用圓弧表現多邊形的這個習慣意味着什麼？這是我從阿基米德的圖形中（而且也在其它中世紀手稿的圖形中）發現的一個普遍現象的一部分。即：圖形是非繪畫式的。你畫一個多邊形－－但你不使它看起來象一個多邊形。古代圖形不是一張繪畫或照片，而是一個概要圖示。

這裡是另外一個例子，再次使用“羊皮書”和現代出版的圖形。這一次，讓我們看看今天只在“羊皮書”中找得到的一張圖－－《方法論》中的第一張圖，在某種程度上是“羊皮書”包含的最重要的視覺憑證。當然，因為我們只有唯一的孤本，我們不能再利用文獻學方法。我們無法拿這張圖同其它中世紀手稿的圖進行比較，從而得出初始的來源。但是，看看別的地方，我們已經對“羊皮書”取得了信心：我們已經見到，每當有可能將它與其它來源作比較時，“羊皮書”包含的圖看來總是真實地道的。所以我們最好的猜測是，這裡的圖同樣也是接近阿基米德的最初精神。

最後，我們來比較圖４．１０中的兩個插圖。現代的那個是“正確的”。線段TH，ZA等，的確應該都是嚴格平行的。線段ZA的確應該在K點嚴格平分；同樣，QG的確應該在同一K點嚴格平分。曲線ABG的確應該是微妙彎曲的拋物線形。簡言之，這是一個繪畫圖：是忠實於對象的。而另一方面，“羊皮書”里的圖是概要圖：線段ZA並不在K點嚴格平分，線段QG亦不是；曲線ABG被徒手畫成一個圓弧。這種是概要圖：它們僅僅示意對象，完全不顧繪畫的精確。

為什麼希臘數學家畫的圖是非繪畫式？為什麼他們覺得概要圖令人滿意？千萬不要認為這是因為古代製圖師在一定程度上水平欠缺。他們能夠繪製出精良壯觀的美術作品。文藝復興大師的偉大發現－－透視和錯覺－－古代已經有了。我們通過很迂迴的方式了解到這點：當羅馬軍隊洗劫了敘拉古這樣的城市，他們對希臘藝術產生了嗜好，並盡力模仿。在龐貝這種遺忘的城市，壁畫能讓我們了解很多古代藝術的水平－－它們顯示出對製圖術幾何原理的清晰理解。例如圖４．１１中的深度描寫和透視畫法。消失點很到位；錯覺很強烈。這裡，是龐貝城裡的一面牆壁－－僅龐貝城一處就有上百面這種牆壁－－你能夠欣賞到希臘人對繪畫光學原理的理解。而且毫無疑問，這種對光學的理解在古代就有了。我們現存的幾篇論著是有關光學的，其中一篇（作者是歐幾里德）甚至包含一個關於繪畫透視技巧的具體定理：側面看過去的輪子，看起來象橢圓而不是正圓！換句話說，龐貝城壁畫中的輪子所依據的幾何知識，可以追回到歐幾里德時代。

然而矛盾的是，希臘數學圖形中，根本找不到這種精採製圖的憑證。希臘數學家們有意選擇迴避繪畫的方式，相反，卻偏愛不仿照對象的“自由”、概括的簡圖。這是為什麼？

原因是，那些奇異、違反直觀的圖形，是希臘數學家找到的對在證明中使用圖形的哲學問題的答案。這一點微妙而深刻，值得我們仔細關注和欣賞。

還記得，使用圖形有個哲學問題：即，他們是個別的。你想要提出一個關於普通三角形的一般論點（如怎樣量度一般三角形？）。但是，你無法畫一個普通的三角形：你得畫一個個別的三角形。如果你剛好畫了一個直角，那麼你也許會誤入歧途，以為一個三角形的面積一般來講就是較短邊的乘積除以二。你倚賴的是個別圖形的個別性質。

不過，個別圖形一定就意味着個別性質嗎？這一點很微妙。我可以畫一個綠色的三角形、藍色的圓和紅色的正方形。但如果我想要用它們進行幾何論據，我不會提它們的顏色。西方傳統認為顏色在幾何學上不重要。顏色看來只是偶然的；在幾何學範圍內，顏色根本不屬於圖畫的一部分。它的出現，僅僅是因為我們非得選一種顏色才能畫出一個三角形。當然，通常我們使用黑色。但這並不使我們的幾何學成為“黑色圖形幾何學”。顏色在此全然不相干。

想象某種傳統，對角度大小這樣的性質也像上面一樣處理。於是（舉個例子），一個多邊形能由圓弧序列表示，沒人認為這有什麼錯。因為如你所見，精確角度這種性質純粹毫不相干：這不是一個幾何學圖案所代表的東西。精確角度有點像顏色一樣。於是，當我們畫一個綠色直角三角形，它是直角或是綠色，同樣不重要。當然，它恰好是直角－－正如它恰好是綠色－－但顏色和精確角度都是無關緊要的，老練的讀者可以不管它們。只有天真的孩子會看到一個“綠顏色的”三角形。也只有天真的現代讀者－－在古代圖形方面未受過訓練－－會看到一個直角三角形。

用最普通的話來說：古代圖形是概要式的，它們以這種方式表達幾何對象更為普遍的、拓撲學的特徵。那些特徵的確是普遍和可靠的－－它們的圖形表達完全不亞於它們的語言表達；所以，古代圖形能夠構成完全有效的論證邏輯的一部分。

因此，我們學到了阿基米德思維過程中關鍵和驚奇的部分，他的表達方式。他從根本上依賴了視覺；他通過概要圖形來利用視覺，這些圖形可用於完全嚴格的邏輯推理而不必擔心視覺效果導致出錯。當阿基米德在敘拉古的海灘上盯着自己的圖時，他所看到的與我們今天能按“羊皮書”複製的圖大多相似。我還知道，他所看到的也是他思維過程的關鍵一部分：將希臘科學推向成功的最基本工具之一。

美麗的數學

因此阿基米德有充足的理由讓人把一張圖放在自己的墓碑上。他的推理永遠離不開圖形。他以高明而微妙的方式使用了那些圖形－－非常不同於現代插圖示範的方式－－這樣它們能夠提供論證邏輯的一部分。

我認為我可以猜測到阿基米德墓的形狀。我認為它非常簡單。希臘幾何學圖形迴避透視和三維錯覺的複雜效果。那麼如何表示一個球體和圓柱體呢？僅僅用一個圓及其外接正方形。我覺得，這也許是墓地那裡的一切（或許在底下題寫有一段陳述：圓柱體是球體的一倍半）。一個簡單、樸素的圖。古人常常喜歡在他們的墓碑上題寫警句－－有關告別和遺憾的提示性短詩。這張圖提供了一條如此簡潔、有效的視覺警句。也許它類似圖４．１２那樣。

作為美麗的視覺警句，它能產生共鳴。令人想到許多其它的對象和發現。同一個圓和外接正方形的圖形，首先令人們想起阿基米德測圓面積的成就－－卓越的圓周率近似求值。正方形和圓同時令人想到了長方形和拋物線，涉及阿基米德的許多重要發現，如出現在《拋物線求積》、《錐形體和橢球體》、《論浮體》以及《方法論》中的拋物線和其它圓錐部分。正方形內的圓差不多正好代表阿基米德大多數著述中的共同題材－－他的執著信念：量度彎曲對象。當然我只是做個猜測。然而我發現這個墓地重構很有吸引力。它將樸素形式和複雜涵義結合起來，將視覺警句和反映阿基米德微妙的講故事天分的著作結合起來。正是在這個意義上，阿基米德的科學顯得美麗。

當然，我們可以想象的美麗不止這一種。希臘數學圖形是樸素的。其它的古代圖片－－我們可以再次想起龐貝城（參見圖４．１１）－－卻是與此對立的。龐貝人的繪畫屬於豪華之美－－公元前２１２年大廈林立的敘拉古之美確是無疑的。數學亦非永遠是樸素的。例如在十七世紀，阿基米德著作的形式非常不同。阿基米德的這個版本－－為牛頓所用－－誕生於１６１５年的巴黎，代表了法蘭西君主的濃重口味（此書是獻給這些人的）。球體和圓柱體的圖形，增加了三維透視，製作豪華。里福特的圖像可謂令人難以忘懷，但它們與阿基米德著作的數學重要性幾乎無關。里福特把圖形當成精確的示範插圖，毀壞了古代圖形的特定成就－－作為拓撲式概要圖的樸素而抽象的精確性。

純粹從視覺上講，這種樸素圖形的內在之美可能是非常強烈的。在這方面，阿基米德的論著《論螺線》非常強調視覺。幾乎所有的圖都很引人注目，你會覺得阿基米德研究螺旋線的部分原因是出於審美和視覺的迷戀。“羊皮書”中命題二十一的圖（參見圖４．１３）是最漂亮的圖形之一。（它被禱告書的文字弄得有些模糊。）它極端地樸素，極端地非繪畫式。仔細看，你會注意到此處螺線並沒有被畫成一根平滑彎曲的真實螺線，而是畫成了不同圓周的圓弧序列。短直線特別明顯－－它們的確完全類似於我們在《球體和圓柱體》中見到的彎曲多邊形。這裡我們再次看到希臘圖形的非繪畫式特徵。每根短直線代表一段短弧線。（在《球體和圓柱體》中，弧線被用來表示直線；這裡在《論螺線》中，直線用來表示弧線。）

當然了，這裡說的是公元９７５年的阿基米德。不過我相信，無論從圖形還是從整體視覺影響來說，這基本忠實於古代的阿基米德。譬如，狹窄的文字欄列，便很有意義：這個可以回溯到莎草紙卷書上的文字（寫在一系列很窄的欄列中）。前面說過，我們沒有完全相似的古代對等物可供比較，但我們還是有一些科學著述以莎草紙形式存留了下來。它們不如阿基米德或歐幾里德的著述那樣重要，但它們仍然能使我們了解很多古代科學的面貌。這其中最早的，是一篇很短小的天文學文章，名為《Ars Eudoxi》，現存在巴黎，保留在盧浮宮，在那裡它被簡稱為“Pap．Gr．1”，意即希臘莎草紙第一號。它確是非常古老的莎草紙抄本－－來自公元前三世紀晚期，有可能是在阿基米德還活着的時候書寫完成的。其中狹窄的欄列、潦草的概要圖、乾淨而未修飾的文字，所有這些都在提示我們從阿基米德自己的手稿傳統中學到的東西。我相信古代科學看起來就是這個樣子。

真正的原稿肯定不是以書的形式出現的。正如威爾·諾爾所言，這是它與“羊皮書”的主要區別：古代著作是卷書的形式，不是書的形式。你不是將阿基米德的著述一頁頁翻過，而是將它們展開。威爾指出過，這種形式多麼不便於提取信息－－比如從字典中。但我認為，卷書實際上對於幾何學的連續閱讀是相當便利的。威爾沒有說錯，因為當人們從卷書過渡到抄本時，他們也從一種強調連續閱讀的文化過渡到另一種強調信息提取的文化。這其實就是終極參考著作《聖經》的世界。

正如以下所示，卷書對幾何學來說更為便利。你是否閱讀過一個超過兩、三頁的幾何問題？那麼你可能還記得當時的體驗：閱讀中前後來回翻頁，正文和圖形之間來回切換，閱讀文字時忘記了圖形，研讀圖形時又忘記了正文。從這一點看，卷書是個好得多的方式。（我認為，幾何書應該在卷書上印刷！）你把卷書展開，在你眼前，是全部完整的正文加上插圖。這就是古代數學卷書：一個優美的節儉設計。把它看成相當於一台靈巧的意大利咖啡機：簡單線條的結合就是一個完美的產品。

這種簡潔，不單體現在圖形中，還體現在文字中。這是文字史中要考慮的主要話題－－不僅是數學的，而且包括任何其它文字。文字最終是多樣化的。古代文字比現代的要簡單：不像我們現在用許多字體，特別是不像我們區別大小寫字母，古人只知道一種字體，沒有大小寫變化－－全是大寫。古代的文字看起來像這樣（THIS IS WHAT ANCIENT WRITING LOOKED LIKE）。《Ars Eudoxi》看起來象這樣，阿基米德的原始文字看起來也是這樣。這種簡單和優雅是獨一無二的。

當文字變得多樣化，方式也在變化。在中世紀－－或者說在“羊皮書”中－－抄寫阿基米德著作使用的文字早已變樣了。對於數學表達方式的歷史，這種文字同樣重要。我已經說了，如今的數學象徵是方程式，是符號的排列。這是起源於中世紀的漫長歷史過程的結果。對此，我們再回到“阿基米德羊皮書”。

數學符號的中世紀起源

“羊皮書”不僅是公元前２２５年的重要證據，而且也是公元９７５年的重要證據。抄寫阿基米德著作的人或許沒有將數學概念推進多少。他畢竟不是阿基米德。實際上我認為這個抄錄人根本不懂數學。但他確實對數學表達“方式”的歷史做了貢獻。他選擇的書寫方式、頁面安排和將著作集中起來的做法，這一切都影響到後世數學家如何解讀阿基米德作品。從阿基米德敘拉古時代直到今日，歷史上這一點毫無疑問：抄錄人、排字工人和出版商，對科學史都做了默默無聞的貢獻，有時甚至同科學家本人的貢獻一樣重要。

抄錄者們默默地發明了數學符號。正是如此，他們為現代科學最強大的工具－－現代方程式－－鋪平了道路。當９７５年那名抄錄人精確複製着阿基米德圖形的時候，他正在為現代科學方程式的誕生鋪墊道路。

讓我們來看“羊皮書”一個段落。圖４．１４來自於《球體和圓柱體》第二卷第二命題。正如我們從希臘圖形看到的，阿基米德最初用希臘語書寫的文字沒有一點點裝飾。ARCHIMEDES WROTE LIKE THIS（阿基米德象這樣書寫），更準確地是，ARCHIMEDESWROTELIKETHIS（單詞之間空格也是中世紀的發明）。特別是，阿基米德文中沒有任何縮寫：每個詞都是完全拼寫出來。

然而，抄錄人的工作是很繁瑣的：一個詞接一個詞，一個字接一個字，全盤複製。使用縮寫簡直太有道理了。如果一個詞老是重複，為什麼不能造一個符號直接代表它，而不是一次次原樣照搬？肯定這會有審美的不利。當縮寫太多，文稿可能看起來不再像希臘文，而是有點像速記了。比方說，一個為賣高價創作的詩歌作品，不會使用很多縮寫。但是一個像數學這樣的技術性著作很可能不會賣高價。“阿基米德羊皮書”是一個傑出、優美的抄寫技巧範例，但它不是豪華手稿。沒人會阻止抄錄人使用縮寫。

那麼讓我們回到《球體和圓柱體》一文。這裡是其中一段文字的翻譯：

（１）因此如［線段］KQ比［線段］QE，［線段］QE比［線段］EG，並且因此如KD之上［正方形］比由KQD［所含長方形］，AG之上［正方形］比由AEG［所含長方形］
（Therefore as the [line] KQ to the [line] QE, the [line] QE to [the line] EG, and therefore as the [square] on KD to the [rectangle contained] by KQD, the [square] on AG to the [rectangle contained] by AEG）

你首先會注意到，我的英文譯文占用的空間比手稿中的希臘文多得多。這有兩個原因，一個是阿基米德的緣故，另一個歸因於中世紀抄錄人。第一個是那些方括號。阿基米德在寫作中不用諸如線段、正方形、長方形之類的詞，他讓讀者自己從上下文推斷。正是這樣他才能寫出非常節儉的文稿。阿基米德使用的語言，是一個優美的、最低綱領派的設計，吻合其優美的、骨架式圖形。他能夠用很少的字－－因為讀者已經知道他談的是什麼東西（正如讀者能正確“解讀”最低綱領派的圖形，這是因為讀者了解這些作為數學圖形的本質）。因為阿基米德只用大寫字母，單詞之間不用空格，所以他的文字看起來象這樣：

（２）因此如KQ比QEQE比EG並且因此如KD之上比由KQDAG之上比由AEG
（THEREFOREASTHETKQTOTHEQETHEQETOEGANDTHEREFOREASTHEONKDTOTHEBYKQDTHEONAGTOTHEBYAEG）

這個作為一種表達方式，的確有些棘手。

這時，中世紀抄錄人採取了一些關鍵步驟，發明了更有效的排字界面。使用不同的大小寫－－大寫挨着小寫－－具有了不起的價值。這樣我們就能將圖示所用字母（這些永遠大寫）同其它文字（這些變成小寫）區分開。單詞之間採取空格，是第二項主要發明。這兩者一起，讓我們看到的是更加熟悉的文字：

（３）因此如KQ比QE，QE比EG，並且因此如KD之上比由KQD，AG之上比由AEG
（Therefore as the KQ to the QE, the QE to EG, and therefore as the on KD to the by KQD, the on AG to the by AEG）

這時中世紀抄錄人又作出另一項主要發明－－這是他們自己的貢獻，使文字非常緊湊。他們引入了縮寫。他們這麼做的理由，不是出於任何數學上的深謀遠慮。他們這麼做，是因為懶惰。因此，拋開反覆地抄寫“pros”這個詞（希臘語意為“to”或“比”），他們乾脆嵌入一個符號，看起來有些象我們的大寫西格碼，S。還有其它縮寫或符號，譬如對“as”或“如”（有點象w），對“and”或“並且”（有點象K），還有對“therefore”或“因此”（有點象Î），這些都標在圖４．１４中。所以最後的文字看起來象這樣：

（４）Î w the KQ S the QE, the QE S EG, K Î w the on KD S the by KQD, the on AG S the by AEG

另外注意，希臘字“這”常常可以寫成一兩個字符（按陰陽性和大小寫而變），取代英文“the”的三個字母。我用簡寫t’來代表它，讓我們完整地品嘗一下原始文字的韻味：

（５）Î w t’ KQ S t’ QE, t’ QE S EG, K Î w t’ on KD S t’ by KQD, t’ on AG S t’ by AEG

同樣，這完全有可能令人困惑，而且你可能甚至更喜歡例（１）那種展開形式，而不是例（５）的縮寫形式。你可能覺得例（５）是用天書寫的。但這完全是習慣問題：你只不過有必要學會這種特別標記法－－我們也是這樣學會我們自己的現代標記法的。例如，一位現代數學家完全有可能將同樣的文字寫成如下形式：

（６）à KQ:QE::QE:EG
à KD2:KQ*QD::AG2:AE*EG

這完全和例（５）一樣，如同天書一般難懂。阿基米德本人一定不知道例（６）是什麼意思，正如一個現代讀者面對例（５）而不知其所云。你必須學會標記法－－然後天書作為內容的符號表述就完全講得通了。

這一點有很深的涵義。所有的例子－－從（１）到（６）－－包含了完全同樣的意思，改變的只是包裝。區別只是在表達方式。但我們看到，不同的表達方式能導致多麼大的差異！縮寫標記法的發明，確是現代科學發展的關鍵步驟之一。

這項發明的歷史仍然有待研究。古典學者只是最近才開始將中世紀手稿視為自身有趣的文件，而不是裝有上古信息的匣子。抄錄者怎麼會發明一個像例（５）那樣的系統？我們仍然不知道全部答案；我們仍然在收集證據。作為阿基米德最早期的現存手稿，“羊皮書”將成為這項研究的關鍵憑證之一。

這段歷史－－科學表達方式的歷史－－大的輪廓卻是清楚的。圖形科學過渡到了方程式科學。的確，在這個高度概念化的數學思維領域內，這兩者可被視為運用人類視覺功能的兩種不同方式。我們從一種視覺科學－－以圖形為基礎的希臘科學－－過渡到了另一種視覺科學－－以符號和方程式為基礎的現代科學。

“阿基米德羊皮書”處在過渡的中途：它是我們能夠間接獲取的有關古代圖形科學的最好憑證；是有關符號和方程式新興科學（當時為初期）的主要憑證。

數學的經驗

我提到的一切－－數學圖形的本質、數學頁面的美麗、數學記號的發明－－這一切導致同一觀點：數學是經驗的事物。當然，數學是一門高度概念化、抽象化的學科。但即使抽象的內容也必須由人以某種方式來掌握。它必須通過眼睛感覺。作為人類，我們有能力了解抽象概念，但我們只能通過自己的經驗了解它們。最抽象的概念必須有某種感官上的包裝，通過語言的聲音和視覺的加工品。對於人類，理解一件事，首先是看和聽。

這個正是最近幾十年來，哲學家、邏輯學家、史學家和認知科學家之間正在形成的共識：認知和邏輯，抽象和具體，最終無法分離。這一點在某種意義上，一直為古文書學家（研究古人寫作的古典學者）所了解。

在研究古代手稿時，你會習慣於這種問題：原文是怎麼寫的？抄錄者發明了哪些視覺工具？頁面應該如何使用？你研究手稿，其實是同時研究內容和形式。文字傳遞的思想也許是抽象的，但它們以具體形式的描述卻不是。這的確是一個物理對象－－正如威爾·諾爾所謂的：匣子裡的阿基米德大腦。這是所有一切的目的：通過研究圖形和符號的認知歷史，研究頁面和手稿，我們希望了解阿基米德的大腦－－在公元前的敘拉古城生成智慧和力量的大腦。

只不過，當我和威爾·諾爾在１９９９年春天會面時，我們幾乎無法一瞥這種憑證。９７５年完成的手稿，隨着流逝的千年時光將我們遠遠帶離拜占庭全盛時期，幾乎被抹掉遺忘。該是重新加入約翰·迪恩和威爾·諾爾跨越地中海之旅的時候了，我想弄明白這一切是怎麼發生的－－這個手稿如何變得面目全非，無法辨認；然而又不斷逃過劫難，倖存下來。