阿基米德是有史以来最重要的科学家。

这个结论是这么得出的。英国哲学家Ａ．Ｎ．怀特黑德曾经有过一段著名的评论：“欧洲哲学传统最可信赖的一般特征就是，它是由对柏拉图的一系列注脚所构成的”。这个评论听起来也许令人难以接受，但实际上是相当理性的。柏拉图的直接追随者，譬如亚理士多德，竭其所能去反驳或提炼柏拉图的论据。后来的哲学家们辩论，追随哪一个更好，柏拉图还是亚理士多德。所以在真正的意义上，后来的西方哲学全是对柏拉图的注脚。

欧洲科学传统最可信赖的一般特征则是，它是由对阿基米德的一系列注脚所构成的。我这么说，跟怀特黑德说柏拉图基本上是同一个道理。举个例子，我们只需看一看近代科学最有影响力的书之一，伽利略的《两门新科学的对话》。这本书出版于１６３８年，那时阿基米德刚好去世一千八百五十年，时间确实过了很久。然而，伽利略自始至终是在借用阿基米德的理论。从根本上讲，伽利略推动了静力学（物体静止时的规律）和动力学（物体运动时的规律）这两门科学的发展。对于静力学，伽利略的主要工具是重心和平衡定律。这两个概念都是伽利略从阿基米德那里借用的－－伽利略总是恭谦地指明这一点。对于动力学，伽利略的主要方法是曲线近似，以及时间和运动的比例，后两者又是从阿基米德理论直接推导出来的。从来没有哪个学术权威被如此频繁地引用，或者在引用时给予如此的尊崇。伽利略基本上是在阿基米德停顿下来的地方重新开始，朝着他的希腊前辈指出的方向努力。不光伽利略如此，“科学革命”时期的其他伟人也是这样，譬如莱布尼兹、惠更斯、费马、笛卡尔和牛顿。他们都是阿基米德的追随者。因为牛顿的缘故，那个时期的科学以彻底的阿基米德形式，达到了完美的境界。牛顿根据纯粹而漂亮的第一原理，运用纯粹的几何学，推论出主宰宇宙的规律。后来的科学成果都出自于对牛顿－－或者说阿基米德－－方法的推广。

近代科学工作者从阿基米德那里学到了两个原理：

· 无穷数学
· 数学模型的物理应用

“羊皮书”让我们对阿基米德在这两方面的成就了解得更多。

无穷数学，和数学模型的物理应用，相互紧密关联。这是因为，物理现实是由瞬间作用力的无穷小脉冲所构成。所以，要得知这些力产生的结果，我们必须将许多无穷小的“脉冲”无限求和。这点让人吃惊：我们或许认为无穷数学只是某种恣意猜想，没有实际用途（我们或许认为在普通世界终究找不到无穷大）。但结果是，无穷数学成为科学最实用的工具，其重要性使得它获得一个简称，“微积分”。数学通过微积分在物理学中的应用：这就是近代科学。特别是牛顿，运用隐含形式的微积分推算出行星的轨迹－－这是一项漂亮的结果，它影响到后来的所有科学，从根本上说，它是运用阿基米德式洞察力的成果。

既然阿基米德对微积分学成形的贡献大于其他任何人，既然他是将数学运用到物理世界的先驱，那么，西方科学的确仅仅是对阿基米德的一系列注脚。因此这也说明，阿基米德是有史以来最重要的科学家。

阿基米德的影响力不只局限于科学内容。他的文字有一种特殊的品质。他的读者一次又一次为意想不到的并列比较而感到异常的惊喜。优雅、惊奇的对比，是阿基米德的主要风格，后世的科学家深受他影响的主要原因，是他的著作读来乐趣横生。后世的数学家直接或间接地想效仿阿基米德的出人意料和优雅的风格，因此，阿基米德的文字塑造了我们对数学论著应有水准的第一感觉。在以下各章，我不仅想解释阿基米德的工作本身－－他对微积分和数学物理的贡献－－还想解释他的风格。这两方面都同样值得我们学习。

在研究“阿基米德羊皮书”时，我逐渐开始欣赏阿基米德这两方面的成就－－内容和风格。２００１年的一项重要发现，让我们第一次看到，阿基米德当时已经多么接近现代的无穷概念。２００３年的另一项重要发现，令我重新思考我们对阿基米德风格的整个概念。这个就是从头至尾关于“羊皮书”的工作：一页页费力地研读原稿（或者更多的是电脑屏幕上增强的页面图）；一个个字母变成一个个词，再变成一个个词组；一般到这步没有任何新东西出来；但偶尔会有一些发现，有的还具有重要历史意义；最后，出现两项动摇数学史基础的重大发现。

我从未想到过自己竟然会费力地钻研起原稿文本来。根据中世纪抄译本编辑古代重要文稿的工作，大部分都在十九世纪完成了。当然，你总能做些小的改进，或者编辑非重要作者的文稿，但是，今天已经没有多少人做这种工作了。这不光是因为比较有趣的作者的文稿已经被人编辑过了。当今的文化思潮与十九世纪的非常不同。现今，人们已不再对文章的枯燥细节那么感兴趣，而是对那些文章的综合涵义更感兴趣。如今一篇古典文学专业的博士论文，通常是对已定型文章的某种理论思考，而不是给这些文章本身添砖加瓦。“理论”才是大家想要的东西：说得直截了当些，如果你的智力输出只是对原文的编辑，你可能很难找到工作。除此之外，这也并非是不好的发展趋势。十九世纪的学术成就令人印象深刻，我们从中受益非浅，但是有时候阅读起来很是乏味（常用到拉丁文），偶尔甚至会感到太朴素太简单，缺乏重要的理论思考。例如，运用文化人类学或者一般诗歌语言学的直觉洞察，令我们对古代世界的理解更加丰富而深刻。我在剑桥作论文的指导老师是坐“希腊科学”研究头把交椅的杰弗里·劳埃德爵士，我自己的博士论文就是这种现代传统的一部分。杰弗里·劳埃德将人类学运用到希腊思想的研究，还有他使用比较法（将希腊科学和同时代的中国科学并列比较），对我启迪都很大。我的第一本书《希腊数学演绎法的形成：认知史的研究》，具体谈到了运用认知科学的直觉观察（或是相反：我自己的希望是认知科学家能从史学家的话里学到点东西……）。我的目的始终是想揭示对数学的体验：它是如何在大脑中留下印象的？我认为，为了体会这一点，你必须能读懂精确翻译（忠实反映作者的公式表述）过的数学，因为这些表达式传递的信息是古人自己如何看待科学的。这些数学表达中最为重要的却从未被译成过英文。跟阿基米德有关的、唯一一篇很差的释文是Ｔ．Ｌ．希斯于１８９７年写的，他完全忽略了阿基米德的数学语言。因此，我决定出版一轮新的翻译，并加入我自己从理论角度对希腊数学的评论。

我本来打算不只是翻译阿基米德。最近一些古典学者开始注意起科学的视觉一面，我也是其中一个。我前面说过，十九世纪的学术成就，从某些方面看似乎落伍了，而这里说的就是其中一个方面，跟编辑工作有关的。十九世纪编辑数学文稿的古典学者对文字很感兴趣，而忽略了图表。当你翻开那个时代编辑的书本，你会发现图表并不是按原始稿件中实际所绘的样子。相反，它们是编辑者自己的图。我得知这一点很是吃惊，然后我开始考虑：我该不该破天荒出版一册图表的编辑本？我很清楚，这意味着要四处出差，去收藏着各种阿基米德原稿的大图书馆。我查找过那些原稿的保存地点，发现是在巴黎、佛罗伦萨、威尼斯和罗马。好，干嘛不去呢？我认定这个想法很好。这是个规模很大的计划，还不一定完全有希望。要翻译的阿基米德原文大约有十万字。很难的十万字。更糟的是：正如朋友不断给我指出的，对原文不确定的地方我怎么办？因为最重要的原稿已不复存在，我该如何定夺？

你看，因为就是它－－“阿基米德羊皮书”，作为含有《论浮体》、《方法论》、《史多马奇恩》（又译成《疯狂玩具》，或《十四巧板》）的孤本，以及多数其它著作的关键凭证－－当时谁也不知道它的下落。在二十世纪初有人研究过“羊皮书”－－然后又消失了。我也不期望它会复出－－我是这么回答朋友的：既然原稿很可能一直找不到，就让我们当它不存在，否则我们永远无法完成关于阿基米德的任何工作。

剑桥的希腊语钦定讲座教授、希腊手稿专家帕特·伊斯特林，密切关注我的研究项目，她曾教会我古文书学的基本技能。一天，我收到她一封信。信中说克里斯蒂拍卖行正在申请允许拍摄珍藏于剑桥大学图书馆的一张书页，据信这一页是从“阿基米德羊皮书”里撕下的，而他们正准备拍卖该书原稿。

然后我向古代科学系同仁随便提及此事，我以为他们一直都知道。结果没人知道。帕特·伊斯特林这封信犹如一颗炸弹：拍卖即将发生的消息一下子在阿基米德学者群中传开。剩下的都成了历史。威尔已经提到过他自己和帕特·伊斯特林的会面，还有他发给我的电子邮件。至于我在收到电子邮件后的反应－－就是说，至于我的发狂、幼稚、令人窘迫的喜极而泣……我还是不谈这个罢了。让我们来谈阿基米德吧。

阿基米德是谁？

在古代，第二次布匿战争（公元前２１８－２０２年）很象现代的第二次世界大战。这是一次规模史无前例的巨变浩劫，将地中海的地缘政治彻底翻了个。有一段时间，看起来汉尼拔好象会征服罗马－－然而罗马生存了下来，凯旋而归，到战争结束时已十分强大，整个地中海地区都在它的支配之下。希腊城邦失去了独立，阿基米德代表的文明被羞辱。战争的主要转折点之一，便是叙拉古的陷落。这个地中海西部的希腊名城，犯了战略错误，与迦太基人结盟。２１２年，长期的围城之后，由阿基米德建立并在战争中无邂可击的叙拉古城防，因为内部倒戈而崩溃。我们不知道，阿基米德是怎么死的。

事实上，以上基本总结了我们所熟知的历史人物阿基米德。应该强调的是，我们有幸能知道这些，的的确确应该感到惊喜，我们可以弄清上古事件的年代日期。毕竟，古代没有人记载“阿基米德死于公元前２１２年”。古代的日期是这样得知的：我们藏有几份古代的历史文件，是当时的年鉴，亦即按年份排列的事件说明（有名的例子如罗马作者李维）。那时的日历与现在的不同，但年鉴作者们偶尔会提供天文学数据（尤其是日食月食）。然后我们运用牛顿物理计算出那些事件的日期，并且通过演算得到古代年史的立足点，从而建立起古代日期和现代日期之间的基本对应关系。没有这种天文学数据，任何年史都无法确立。就连阿基米德自己的死亡日期，也是利用他所创立的科学方法获知的。

叙拉古围城战，是一个铭刻在历史记忆中的重要事件。所有的年鉴都有记载，我们很清楚战争结束的时间。作为叙拉古首席工程师，阿基米德本人对其同时代的人具有极大的魅力，并不断出现在历史文献里（这又有一点像第二次世界大战：想想爱因斯坦作为“原子弹之父”铭刻在大众中的形象）。这样一来就好办了：我们确实知道阿基米德是什么时候死的。但是其它证据的可靠性就差远了。阿基米德的生卒年份在百科全书里多为公元前２８７－２１２年。我们知道“２１２”是从哪里来的。但２８７呢？这个结论是根据后世一位希腊作者的叙述：阿基米德死时是“７５岁的老人”。权当如此吧，只是这位作者约翰尼斯·策策斯生活在公元十二世纪（！）。他对阿基米德的叙述来源于一首充满饶舌和想像的诗。这首诗也是阿基米德发明镜子烧敌船的故事的主要来源。可以肯定，如果发生过这样的事，阿基米德同时代的人一定会记载下来，而策策斯是个拜占庭人，他们的海军的确以烧船的本领高强而闻名。一句话，策策斯的故事仅仅是个故事而已，而且，他让笔下的阿基米德成为一个老人，只是为了文学效应。阿基米德大概是相当一把年纪了（比较可信的史学家波利比奥斯如是说），但除此之外我们便一无所知。

问题是这样的：阿基米德名气太大，传奇自然会很多。那么，我们该怎样把历史同传奇分开呢？这是史学家的问题。十九世纪之前，人们普遍认为古代的故事都是真事；十九世纪以来，怀疑论占了统治地位。今天的史学家或许太谨慎了，但我们的倾向是排斥几乎所有关于阿基米德的说法。他是否大喊“尤里卡”？（译者注：“尤里卡”来自希腊文，意为“有了！找到了！”）我自己很怀疑，我来解释为什么。让我们来看这个故事最有名的（也是最早的）版本，罗马建筑大师维特鲁维斯的说法－－从年代到作者都已经招来疑义。维特鲁维斯是在阿基米德死后两百多年写的书，而且总的来说，他不是一位非常可信的史学家（他的书是建筑学指南，其中以历史轶事添油加醋）。

故事是这样的。阿基米德茶饭不进，苦思冥想王冠的问题。这顶王冠照理是金子做的--但是否是纯金的？后来阿基米德注意到浴盆里溅出的水……他立刻跳出来边跑边喊“有了！有了！”－－到底有了什么？按照维特鲁维斯，“有了”指的是这样的观察，水中的物体排出水的体积等于物体自身的体积：因此将王冠放入水中，测定“溅出”量－－而王冠的体积你是知道的。将这结果与同样重量的金块比较：后者排出的水一样多吗？金块越重，排水越少。这样你就得知，王冠是否具有金子的比重。这个方法不错，但它依据的观察实在不稀罕－－“物体越大溅出的水越多”。这其实价值不大，以至于阿基米德在《论浮体》一文（该文唯一的希腊语版本在“羊皮书”里幸存下来）中根本没有提及。

在我看来，维特鲁维斯（或许从自己早先的资料）了解阿基米德关于水中物体的某些发现，也熟知一些价值甚微、科学上不成熟的观察（譬如“物体越大溅出的水越多”），然后就杜撰了一个故事将两者扯到一起。但很清楚的是，他对阿基米德的科学一无所知。从维特鲁维斯到策策斯，阿基米德的所有故事都是这么回事：它们听起来就像都市传奇。抱歉。

真实凭证的一些片断汇集起来，可以提供一个引人入胜的故事梗概。我们会多次从本书看到，这些凭证可能很细微，需要大量诠释。这里有阿基米德最重要的传记凭证。这个凭证属于题外话，出现在阿基米德的惊人名著之一，《数沙者》。在这篇论著里，阿基米德注意到对太阳和月亮的比率有各种估算：例如，欧多克斯认为太阳要大九倍，然而－－我们的原稿中这么写的－－有个“菲迪亚斯·Acoupater”认为太阳要大十二倍。不过，没有像“Acoupater”这样的人名或地名。原文逐字念出来是：pheidia tou akoupatros，但要记住，直到中世纪很晚时期，希腊文字与字之间还是没有空格的。这点引出以下推测：如果我们以不同方式将单字分离（解释古希腊文时允许这么做）并改动一个字母，原先乱七八糟的“acoupater”就完全讲得通了。允许这么改正的原因是，抄录人抄稿时肯定会出错－－我们的手稿就充满这种抄写错误。因此，十九世纪几位编辑提议，将“k”改成“m”，再加入一个空格：pheidia tou amou patros。这就变成“菲迪亚斯，我的父亲”（逐字看，应是“我们的父亲”－－阿基米德时代的文章中，高贵的“我们”是标准用法）。你可以看到，这条证据线索比较简单，但却非常有力：原文必须修改，修改后结果非常优雅直截，看来这项修正一定是对的。

这条简单的线索牵系着阿基米德的整个家庭传记。这能够让我们感觉到，对原稿的详细研究有多么重要、多么困难。我们对于古代世界的全部知识，均来自于这一类耐心而艰苦的“七巧板”拼合过程。以上例子看起来并非多么了不起，但它的确告诉我们，阿基米德的父亲是位天文学家，他的名字叫菲迪亚斯。

这个事实让我觉得非常有意义。我研究过古代的名字“菲迪亚斯”，现在请你牢记两个事实：（１）艺术，还有通常说的技艺，不太为古代贵族所欣赏（这些人一般而言瞧不起动手之人）。（２）菲迪亚斯是古代最出名的艺术家的名字－－公元前五世纪设计巴特农神庙的雕塑大师。记住这两个事实，并请你考虑以下事实：在别的地方，当我们认识到一个叫“菲迪亚斯”人的所作所为，我们通常会发现，他是某类艺术家。道理很简单：只有搞艺术的人家才会给儿子起菲迪亚斯这个名字，作为一种骄傲的预言。否则，为什么要起一个同卑贱的技艺有联系的名字？所以，让我们记住另一个事实：阿基米德的祖父是个艺术家。

关于人名，我们还有很多可说的。阿基米德（Archimedes）这名字本身呢？实际上这个名字很独特－－而且正好适合阿基米德本人。它由两部分组成（希腊名字通常是这样）：“阿基（arche）”，即“原理、规则、第一”，和“米德（medos）”，即“头脑、智慧、机智”。这个名字从头至尾念的话，意思是“第一号头脑”，倒是很恰当地描述了阿基米德。但是，它很可能应该从尾念到头（希腊名字更常见）。这确是一个独特的名字，但它还有一个对应的名字：狄奥米德斯（Diomedes），其中“狄奥（Dio）”（“宙斯”的变体）替代了“阿基（arche）”。狄奥米德斯的意思是“宙斯的头脑”，因此，阿基米德的意思便是“原理的头脑”－－听起来有点怪，但感觉非常贴切。阿基米德之前几代的希腊哲学家，从柏拉图这样的人物开始，逐渐演化出一种一神论的科学宗教，不再十分崇拜希腊宗教的人神，而是推崇宇宙系统的优美和秩序，即其“原理”。因此，阿基米德这个名字暗示着，阿基米德的父亲、天文学家菲迪亚斯赞成这样的宗教，崇拜宇宙间的优美和秩序。由此我们能认识到阿基米德的很多背景－－全是根据细微的证据和多样的诠释。他的祖父，是艺术家；父亲，是科学家－－信仰宇宙优美和秩序的新宗教的天文学家；然后是儿子－－在他的著作中，艺术和科学、优美和秩序，一切共存于完美和谐中。

那些著作当然是了解阿基米德的关键。他的故事也许是都市传奇，但他的著作确实存在，可供我们阅读。令人惊奇的是，这些论著看起来似乎是些枯燥的数学，但它们实际上充满了个性。在他纯粹的科学世界里，阿基米德不断地从浴盆中跳出来。艺术和科学、优美和秩序：让我们来看看它们在阿基米德的著作里是怎么共存的。

科学之前的科学

当我们说“阿基米德是个科学家”，我们也许很容易把他想像成穿着白色外套，注视着盛有紫色液体的玻璃瓶－－怎么说呢，他可不是干这个的。他是穿着长袍，对着沙子上画的图形沉思。其次，我们也许很容易把他想象为一个非常认真的人，全身心地投入客观真理的事业。同样，这跟紫色玻璃瓶一样也是错的。阿基米德不是一位现代科学家。他的是另外一种科学：在我们自己的职业化的、开头大写的“科学（Science）”之前的科学。

也许对阿基米德最好的介绍，是他自己在《论螺线》的引论中的叙述。这篇引论的形式是给他的同事多西修斯的一封信，阿基米德一开头就提醒多西修斯过去写过的信。阿基米德说，你还记得我提出了一些数学难题。我宣布了几种发现，并请求其他数学家找到他们自己对那些发现的证明。怎么说呢（阿基米德有些得意地写道）－－没有一个做到的！阿基米德继续写道，再说，该是揭秘的时候了：我宣称的其中两个发现好象“坏”了。例如，阿基米德宣布的“发现”是：如果球体被切成两块，并且表面面积比为a:b，那么体积比则是a2:b2（参见图２．１）。

我想强调，毫无疑问，从阿基米德论著的内部证据，他的确从一开始就知道这两个宣称是假的。他不是为了回过头来保全面子：他寄出的确实是“坏”信，想要给同行数学家们设圈套。如他所述，他是这么做的：“因而那些声称发现一切、又不给出证明者，在同意证明不可能这一点上，将被驳倒”。

你应该注意，阿基米德的性格并非柔和，也不是热心认真型的。“爱开玩笑”，是能想到的第一个形容词，“恶作剧”则是另一个。史学家不断辩论阿基米德之发现的准确意义，不是没有原因的：他就是要让读者迷惑。因此，他本可以附带着给自己论著未来的历史彻底添加趣料。他的书读起来很花工夫，却又让读者非常干着急，这正是阿基米德想要的。

阿基米德时代整个科学活动的结构，同我们现在熟知的相比有着根本的不同。那时没有大学，没有职业工作，没有科研杂志。确实，阿基米德死前大约一个世纪，已有一些“学院”在雅典成立。但它们同样是与现代科研机关差别很大。它们更类似于今天的俱乐部，志趣相投者聚到一起讨论对他们重要的问题（通常是哲学而非科学问题）。在亚历山卓港，托勒密国王建了一座庞大的图书馆－－当时还有其它图书馆－－尽管这个同样也不是研究机构的一部分，而纯粹是为了显示财富和声望。因此简言之，那时不存在科学职业，也不存在多少荣耀：毕竟，很少人能读懂科学论著。通向荣耀的真正道路是－－在近代社会之前永远如此－－诗歌创作。如果你想自己出名，想获得某种永恒，你会去写诗－－毕竟大家都能读诗（在儿童早期，从《伊利亚特》和《奥德赛》开始，大家多少都能背诵）。

一个人怎样才能成为数学家？你必须有机会接触数学（比方说，通过做天文学家的父亲……）。然后你就开始入门了。极少人吃过这个苦。我曾经估计，在整个古代数学历史时期（大致从公元前５００年到公元５００年）可能只有过一千名活跃的数学家－－平均每年出生一个。我应该马上澄清，更早先的人物（譬如毕达哥拉斯和泰勒士）根本不是数学家；“毕达哥拉斯定理”这个说法是后期杜撰的故事。数学是从公元前五世纪开始的（伯里克利和巴特农神庙的时代），然而当时的数学作者很少为人所知。或许最重要的人物，是希俄斯岛的希腊数学家兼天文学家希波克拉底（不要和科斯岛的同名希腊医生混淆）。我们对这些作者的所有了解，都来源于后期的引文和评论。关于公元前四世纪，我们除此之外知道得更不多：阿契塔是柏拉图的好友，是一位伟大的数学家－－但他只有唯一一项数学证明保留下来。即使这样，同世纪后期的欧多克斯也没有看上它。但是阿契塔两次被阿基米德以倾慕的口吻提及。很明显，阿基米德认为欧多克斯是他最了不起的前辈：但这位前辈的论著现已全部丢失。

欧几里德的论著就没有这样的命运，我说的应该是他三世纪早期的论著。其中很多保留了下来。但阿基米德不会非常看重它们，因为这些主要是基础数学。而阿基米德是一位高等数学家，写的东西是给知识远远超过欧氏《几何原本》内容的人看的。这样的人当时肯定很少。我相信阿基米德的“听众”也许至多是二、三十来个分布在地中海附近的数学家：他们大多数住在隔绝的小镇里，焦急地等待着从亚历山卓港（交易中心）投递的下一封信－－阿基米德又寄来了什么新的内容？

当阿基米德以私信展开文章的引论，这应该完全照字面去理解。这些确是私人信件－－寄给亚历山卓港的人，然后通过联络关系进一步投递。一切都依赖于这个个人的网络。阿基米德在引论中不停地哀悼老朋友科农之死（一位重要的天文学家）。他是唯一能明白我的人！……在阿基米德大部分信件里，有一种微微的恼怒语气：没有可以跟他写信的人，没有足够好的读者。（最终会有的：阿基米德后来拥有的读者包括欧玛尔·海亚姆、列奥纳多·达芬奇、伽利略、牛顿；这些人是阿基米德真正的读者，正是通过他们阿基米德才造成真正的影响。他一定是知道自己在给后人写书）。

其中许多论著是写给多西修斯的，此人除此之外很少为人所知。我们确实知道一件事－－然而还是仅仅根据名字。我们发现，那时在亚历山卓差不多每个叫多西修斯的人都是犹太人（实际上这个名字就是马第亚胡或马修的希腊语翻版）。这点很让人好奇：阿基米德和多西修斯之间的书信，是唯一听说的古代希腊人和犹太人之间的通信，或许它告诉我们，这种跨越文化的联系是通过科学进行的。毕竟，在数学王国中，宗教和民族是无关紧要的：至少这一点从未改变。

化圆为方

多漂亮的数学，却寄给了多西修斯！首先是一篇《抛物线求积》的论著。然后是两本不同的《球体和圆柱体》的著作。再接着是一本《论螺线》的著作（在这里阿基米德透露了那个恶作剧）。最后是一本关于《锥形体和椭球体》的著作。（也许还有更多：这是五本保留下来的著作）。这五篇著作有某种一致性，因为它们一起构成微积分学的基石。当然，阿基米德很可能不会这么认为。对他来讲，它们都是“化圆为方”的各种变形。就是说：阿基米德不断反复地取边界为曲线的对象，使其面积等于更加简单、边界最好是直线的对象之面积。很明显，对于希腊数学家，这个难题（化圆为方，或者说，求圆的面积）就是科学的圣杯。

“测量”这个概念取决于直线的概念。我们用尺量东西不是没有道理的。测量，就是找到某个量度工具，然后连续将它施用于量度对象。假设我们想要测量一条直线。譬如要量你的身高－－实际上这是说我们要测量从地板到你头顶的直线距离。那么我们要做的是，取一条一厘米长的直线并接连进行量度，量度的次数会大大超过一百次而很可能少于两百次。因为这个过程比较冗长，我们便用预先标记好的量度卷尺，从而省去使用厘米长度反复量度的麻烦，但在概念上所发生的正是接连的量度。

如果用面积取代长度，也是同样做法，只不过现在不是用直线作量度单位，而是用正方形，还是接连施用于被测对象：这就是为什么楼层平面图是以平方英尺计算的道理。同理，体积用立方体来量度。当然并非所有物体都是简单的正方形或立方体。然而，希腊数学家很早就发现了三条重要规律（参见图２．２）：

· 每个以直线为边的面积都可以分割成三角形
· 每个三角形（面积）都可以与半个长方形相等
· 每个长方形（面积）都可以与一个正方形相等

这三条事实加起来，意味着任意一个以直线为边的面积有可能通过正方形的加和来量度。相似的道理适用于立体，它们被分割成金字塔形，然后让后者体积与立方体相等。这些都很直接了当。取任意以直线为边的物体。概念上可能有困难，一只魔方或者亮晶晶的雪花－－但它的量度总是按照同样的原则，确实很直接。然而，取一个像棒球一样简单的物体－－最普通的球体－－量度方法马上就瓦解了。因为棒球不可能被分割成任意有限数目的有限金字塔形或者三角形。棒球有着无限复杂、无限光滑的表面。对这样的物体，阿基米德重复不断地量度，从这个角度把最基本的数学工具推到极限。

在《抛物线求积》一文中，阿基米德量度了一段抛物线形：它是它的内接三角形的三分之四倍（见图２．３）－－非常引人注目的结果，因为抛物线是一条曲线，所以这很有些像化圆为方。另外，在同一篇论著中，他提出了一个大胆的思想实验：想像一个几何对象，好似由悬在天平上的物理薄片组成。

两本关于《球体和圆柱体》的著作，直接处理球体的体积。结果这个体积恰是它的外接圆柱体的三分之二。它的表面积是多少？原来这恰好是其最大圆周面积的四倍（如图２．４）。球形这种不好对付的物体，却遵从一些非常精确的规则。第二本书解答了一些值得注意的难题：譬如，找到球体断面之间的比率（以上提到的恶作剧的内容）。

在《论螺线》和《锥形体和椭球体》两篇论著中，阿基米德没有满足于计量已知对象。相反，他发明了一种新的弯曲物体－－一种复杂而非直观的对象－－然后量度它。结果证明，由阿基米德发明的螺旋线所围的面积，恰好是它的外接圆之面积的三分之一（如图２．５）。至于锥形体（将双曲线或抛物线来回转动包围的空间），或者椭球体（将椭圆来回转动包围的空间）－－它们的量度更加复杂，然而结果都由阿基米德精确地算出（见图２．６、２．７）。

阿基米德所有这些论著的一个主要特点是：他总是在开头保证，说下面的计算会让你不敢相信，于是你便期待他会多多少少玩些花样，走点捷径（否则怎么能化圆为方？）。然而他真的开始让你吃惊。他将没有明显关联的结果联系在一起。线与线之间的一些比例。与手头问题没有直接联系的一些特殊演绎。然后－－大约在论著的一半之处－－他让读者看到所有的结果是如何结合到一起来的。“我的天！”你会惊叹，“他实际上作了精确的证明，没有玩任何花样！”

阿基米德这里的每项工作，都具有前所未有的独创性和光彩。通过所有这些工作，他将无穷数学往前推进了一步。