虚构的对话

阿基米德在计算中采用一种惊奇、迂回的方法－－这是他一贯偏好的解决问题方式。其一贯风格是：综合运用“间接证明”和“潜在无穷”。

我们最好是把间接证明和潜在无穷看作虚构对话。间接证明的虚构对话比较容易了解－－你自己很有可能以某种形式使用过。你设法让别人相信自己论点的真实性。譬如，你想说服你的对话者，当你画一条直线连接圆周上任意两点，这条直线上所有的点一定位于圆周之内。你跟他怎么谈这条线，他都不相信。于是你便求助于间接证明。假设反过来是正确的，你假装同意对方。

“让我们假设有一点Ｅ位于圆周之外”，你退让一步（见图２．８）。那么根据这种情形下的逻辑，可以得出以下结论：直线ＤＺ既比ＤＥ小又比ＤＥ大。但一根直线不可能同时既小于又大于指定的同一直线。“你瞧，”－－你对虚构的对话者说道－－“我退一步先同意你的论点，但结果却是荒唐的，因此你的这个命题一定是错的。我现在间接地证明了它。”这一类证明是希腊数学的一个标志。

潜在无穷并非阿基米德所发明，但通过一系列创造性的运用，他把这个概念变成了自己的。你还记得量度一个弯曲对象的根本问题：它不可能被充分划分成三角形；放入任何有限数目的三角形，弯曲对象总会有某一小块被“剩下”。现在让我们将注意力集中到这个剩下小块的大小。阿基米德所做的，是发明一种能够无限扩展的方法，用三角形（或相似的形状）填满弯曲对象。再一次地，我们最好把这看作阿基米德及其评论家之间的虚构对话。

让我们假设，他以某种方式填满了弯曲对象，并剩下某个面积。其大小比一颗沙粒要大。

评论家走过来，指出这个差异仍有一粒沙的大小。

“是吗？”阿基米德惊叹道。“那好吧，我将我的方法再连续多用几次。”等到这个操作结束时，剩下的面积已经比沙粒要小。

“等一等”，评论家说道，他还没有满意。“剩下的面积仍然大于头发丝的宽度。”

阿基米德很平静，继续应用这个方法，剩下的面积已小于头发丝的宽度。

“不行，不行！”评论家再次争辩，“剩下的面积仍比原子大。”

评论家也许认为他最后胜辩了，但阿基米德继续不断应用他的方法。“你瞧，”他转过来对评论家说：“剩下的面积现在已经小于原子了”－－如此不断进行下去，差异总会变得比评论家提出的尺寸更小。

这个对话可以无限地继续下去。这正是哲学家们所谓的潜在无穷。在这个证明中，我们从未真正达到过无穷本身（在任何时候都没有提到无穷小地小的面积，而仅仅是非常、无限地小的面积）。但是我们允许自己无限地继续下去。因此这一点，再加上间接证明，允许阿基米德量度令人难以置信的对象。

求抛物线面积

阿基米德在其科学生涯中，三次证明了抛物线形－－一种曲线对象－－恰好是它内接三角形面积的三分之四倍。这个是他最喜爱的量度。我们以后将会看到他最精彩的量度，超越了几何本身。但是，在我们能够跟随这种想象驰骋之前，我们自己首先必须熟悉阿基米德的几何方法－－其根基始终是间接证明和潜在无穷的结合。这是一个非常微妙的证明，一个甚至连专业数学家都很难解答的命题。它就像根据双重否定得到的肯定。我们来看看它的道理。

既然我们所要证明的是曲线面积为三角形的三分之四，我们该如何开头呢？当然，是假设曲线面积不等于三角形的三分之四！毕竟这就是间接证明的工作原理。让我们假设曲线的面积大于三角形的三分之四倍，大过一定值：

１．曲线面积比三角形的三分之四面积，大过一定的差值。让我们假设大过一颗沙粒。

对这种情况，阿基米德正好有一个不为人知的特殊方法。他准备用三角形填满曲线区，使得三角形总面积和曲线面积之差小于一颗沙粒！

因此我们现在有两个对象摆在一起。一个是曲线（面积）。另一个是阿基米德方法的产物－－一个复杂的三角形混合体，其面积与曲线面积之差小于一粒沙子：

２．如果拿掉一颗沙粒，曲线面积将小于三角形混合体（见图２．９－１）。

到这里，阿基米德将目前为止得到的结论搁置一边。另一方面，以下一段推理利用到一个不同的几何技巧。记住三角形混合体是以直线为边的对象。曲线的内接三角形的三分之四也是以直线为边的对象，也就是说，这两者都是可以用常规手段精确度量的对象。所以毫不奇怪，运用几何技巧可以得出有限的量度，比较三角形混合体和内接三角形的三分之四。阿基米德运用他的几何技巧，得出如下结论：

３．三角形混合体小于内接三角形的三分之四（见图２．９－２）。

现在，回想一下结论１。它是：“曲线面积比三角形的三分之四大一个沙粒。”或者，换一种表述：

４．如果拿掉一颗沙粒，曲线面积将等于三角形的三分之四。

把这一条与结论２并列：“如果拿掉一颗沙粒，曲线面积将小于三角形混合体。”

同一对象（面积）等于三角形的三分之四，却小于三角形混合体；换句话说，三角形混合体较大－－大于三角形的三分之四。这也可以解释为：

５．三角形混合体大于内接三角形的三分之四。

这一点如果和结论３（三角形混合体小于内接三角形的三分之四）放在一起，根本就讲不通。

结论５和结论３明显互相矛盾。并且无法调和。三角形混合体无法既小于又大于内接三角形的三分之四。换言之，我们只剩下一个选择：断定我们最初的假设是错误的。曲线（面积）和内接三角形的三分之四（面积）没有不同。因此曲线就是内接三角形的三分之四。这就是结论。间接证明和潜在无穷的结合，让我们获得了结果。

超越潜在无穷

现在让我们回头，将这一切放入实际历史背景中。十七世纪的数学家发现了一个途径，在更大的范围里应用阿基米德这个技术（这样一来，就不必去为了不同的对象寻找不同的技巧，而是用一个一般通用的方法量度所有曲线）。这就是微积分，如上所述，它是近代科学的基础。微积分的直接创始人是牛顿和莱布尼兹，你可能跟很多人一样，想知道这两人谁的贡献更大：牛顿和莱布尼兹之间孰先孰后之争，在科学史上是最有名，也是最丑陋的（如今多数古典学者认为，这应该被视为荣誉性的平手。）实际上，这两人都跟随了阿基米德。不仅如此，牛顿和莱布尼兹两人都将微积分推进到非凡的高度－－在不稳固的基础上。微积分的发明者并没有清楚地解决处理潜在无穷的逻辑基础。这个问题只是到了十九世纪初才被弄清楚，尤其是法国数学家柯西－－他基本上是回到阿基米德的隐含对话方法（“你给我找到一个面积Ｘ－－我会给你找到一个更小的差值……”）。我们的微积分，还有我们对潜在无穷的理解，它们发展的每一步，都深受阿基米德的影响。潜在无穷的概念先谈到这里。至于实际无穷的概念－－思考实际无穷组对象－－像牛顿和莱布尼兹这样的数学家根本就没有掌握它，而且直到十九世纪末从康托等人开始，才被理解清楚（如果能称之为清楚的话）。

令人非常吃惊的是：同所有人想法相左，２００１年首次发现阿基米德当时了解实际无穷，并在数学工作中使用了它。这项发现来自于“羊皮书”，毫无疑问，这是该书再次面世以来最重要的发现。

论证和物理学

这项新发现，是阅读阿基米德《方法论》中一段过去从未有人读过的文字而获得的。阿基米德所有著作中，这篇著作最具魅力，仅仅在“羊皮书”中单独保留下来。它之所以有如此魅力，是因为与所有其它著作相比，阿基米德在这里更多地将他的两大兴趣结合在一起：前面所谈的无穷数学，以及数学同物理的结合，纯几何表达同物理世界表达的结合。这一切都出自平衡。阿基米德第一个从数学上证明了平衡定律：物体处于平衡状态时，它们的重量与它们到支点的距离恰好成反比。他在《方法论》一文中向前更进一步，提出一个令人惊奇的方法：取几何对象做思想实验，将它们放在天平上。然后用它们的重量（也就是说，长度和面积）以及到某个中心的距离，量度一些纯几何性质。平衡定律从物理工具变成了几何工具。这项工作没有跟其它论著一起寄给多西修斯。实际上这也许是因为阿基米德将它看得特别重：他把它送到了当时最有影响的学者埃拉托塞尼手里。埃拉托塞尼学识渊博，其著述涵盖从荷马到天文学、从素数到柏拉图的一切内容。因此他的绰号成了“贝塔（Beta）”，意思是所有领域的第二号人物……阿基米德虽然从不含糊将自己看作本领域的头号人物，仍然抱以极大的尊敬同埃拉托塞尼交流，但他看起来几乎在戏弄后者－－好象在说“看你能不能追到我！”这是阿基米德最吸引人的工作，部分原因是它谜一般难解。阿基米德暗示，他已经发现了一种找到数学结果的方法，非常厉害但不能算作证明。然而他从未解释，这到底是什么样的方法，为什么缺乏实际证明。他将这点作为一个谜留下，让读者自己从文章中琢磨解决－－第一位读者是埃拉托塞尼，接下去的读者，是自十二世纪发现《方法论》一书后研究古代数学的每一位史学家。每个人都有一套关于《方法论》的理论。以下的章节我们会再回到这个谜上来－－在重新读过“羊皮书”后，或许能更好地了解它。

当然，阿基米德认为自己是数学物理创始人的理由不仅仅来自《方法论》一文。他在这个领域里的研究，仍旧现存的有两项主要工作：《平面平衡》和《论浮体》。在后面将要讨论的《平面平衡》里，阿基米德找到了三角形的重心，这是静力学的一个关键结果。《论浮体》为另一门科学－－流体静力学－－铺平了道路。这项工作为维特鲁维斯提供了素材，炮制出一个阿基米德在浴缸里溅水花的亲切而可笑的故事。他也许确实弄得水花四溅，他也许真地赤裸着跑了出来；但他一定没有大喊“有了”，因为“物体越大溅出的水越多”之类的观察实在太不足道了。《论浮体》中的演绎要微妙复杂得多。我们来看看它的道理：

在稳定的液体中，每部分相等体积的液体必有相等重量－－否则液体会从较重一方流到较轻一方（这就是为什么海面是平的）。即使一块固体浸没于这部分液体，结论还是一样。换句话说，如果我们有一部分液体，固体浸没于其中，液体和固体的结合重量一定等于同样体积液体的重量。因而我们断定固体一定会失去一些重量－－阿基米德作的复杂演算显示，它失去的重量相当于它所排掉水的体积。

这就解释了为什么我们在浴盆里感觉更轻；的确，它准确地告诉我们应该感到轻多少。这样的成果才值得大叫“有了”！因为你看阿基米德光靠纯粹思维的力量，就能够预言物理世界中必然发生的事！这种物质之上的智慧力量正是阿基米德的科学引人入胜之处－－这恰是伽利略和牛顿想要效仿的－－而且居然成功地效仿。因而，牛顿终于利用纯粹思维的力量－－还有微积分－－发现了行星运动所必须遵循的规律。而且通过这项阿基米德式的成就，牛顿为后世所有的科学铺平了道路。

难题和数字

牛顿的科学属于冷静严肃型；阿基米德的科学却不是。阿基米德出名的是设局、猜谜、玩迂回。这些并非他文字的一些外在特征，而是表现了他科学个性的特征。科学－－数学－－并非枯燥，跟个性无关。这是任人自由畅想的地方。所以，阿基米德任由想像力驰骋，然后搞出一个儿童智力游戏“疯狂玩具”，又名“肚子痛”（因为它的难度）：也就是十四巧板，用来拼正方形。阿基米德想知道：这个难题的数学基础是什么？

实际上，这对我们现代古典学者来说也是个难题。自从１９０６年我们开始知道阿基米德研究过这个“十四巧板”难题。但他究竟想干什么？我们唯一的线索是“羊皮书”的一张折页－－保存得很糟的一页。海伯格（二十世纪初丹麦语言学家）很难理解希腊人，更是一点不理解希腊数学。现代数字技术终于能让我们读到更多的原稿内容，于是在２００３年，我终于提出对“十四巧板”游戏的解释－－现代历史上的第一次。我证明，阿基米德试图做的是以下事情：算出有多少种不同方式，可以用十四巧板拼成正方形。如图２．１０所示，这种方式不止一个。实际上，有一万七千一百五十二种不同的方法。

有关这个解释最惊人的，并非这个巨大数字，而是另一件事：如果是对的话（多数史学家认为我很可能正确），那么阿基米德将成为组合学－－计算给定问题可能答案数目的数学领域－－有史以来第一位作者。那么，这是从“阿基米德羊皮书”获得的第二项重要发现。

组合学领域，是现代计算机科学的核心，但在阿基米德那个时代没有如此重大的应用，并且从本质上非常有别于我们在希腊数学中常见的那种几何研究。的确，“十四巧板”看起来像纯粹的恣意猜想。你寻找一个数，因为它在那里。接下去你推导出一组奇妙的复杂演算。阿基米德毕竟是这种游戏的大师，善于寻求大数和奇妙组合。他有一篇论著（现存）题为《数沙者》，计算要花多少粒沙子才能填满宇宙（为此他需要估算宇宙的大小－－他用到他父亲的估计）。然后，他给出那个最著名的圆周和直径之比的极其精确的近似（我们今天所谓的圆周率）。他设法找出了这个比率，小于14688比4673½，但大于6336比2017¼－－这个比率又被他简化为（丢掉一点精度但结果清晰得多）：小于三又七分之一，并大于三又七十一分之十（!）。这项令人惊讶的演算所依据的方法类似于前面对潜在无穷系列的处理，唯一区别是，在圆周情况下，精确演算是不可能的，因而近似是最好办法。所以，阿基米德计算的不是园周长，而是一个九十六条边的多边形－－从视觉上它同圆周几乎相同（参见图２．１１）。

也许最惊奇有趣的演算，当数阿基米德的那个太阳神之牛的故事。读过荷马史诗《奥德赛》的人会知道其中的故事背景。在第十二卷中，奥德修斯的船队到达瑟锐尼撒岛，一个奉献给太阳神的神圣岛屿。奥德修斯的船员违背他的忠告，经不起诱惑而屠杀太阳神的牛，然后大摆宴会－－吃了整整七天！然后，在剩下的艰险旅程中，他们不断地为这个罪过受到可怕的惩罚。传统上认为这个岛屿就是西西里岛，所以这个故事可以变成歌颂西西里力量的一首诗，警示外人莫去干预。阿基米德将这段故事又放到另一个谜语里，一个通过诗歌表达的数学难题：

朋友，请帮我计算众多太阳神之牛，
保持努力－－如果你参与智慧之旅：
多少牛曾经在西西里平原上吃草，
分成四大牧群的瑟锐尼撒岛屿，
在色彩中缓舞……
［诗文大约有三页长，其中是许多数学限制，例如：］
……白色公牛
是黑牛的一半加三分之一
全体黄牛，朋友，请了解这……

简而言之，阿基米德构想出一个算术问题－－含八项未知数（有四大牛群，黑牛、白牛、黄牛和花牛，每一群都分成公牛和母牛），七项方程式（例如上述的：［白色公牛］＝½［黑色公牛］＋⅓［黄色公牛］），以及另外两个复杂的条件：答案明显必须是整数（不存在半头牛）。结果发现，企图解答这个问题，就像原故事中屠牛一样，实在是一件不该做的事。你要试的话，危险自负：现代数学家已经证明，即使最小的答案，也含有一个写出来达二十万六千四百五十六位数的数字。

这是一个游戏。因为以上的介绍－－带着韵律的短句－－不是我的异想天开。阿基米德自己用诗歌形式写出了这个问题。一位诗人数学家！－－这个念头对我们似乎有点荒谬，但对阿基米德来说是自然的，他的整个科学都是建立在消遣和美感、以及深藏的意义之上。毫无疑义在这个例子里，除了其它方面，隐含的意义是政治性的：阿基米德想暗示，任何人都不要干涉西西里岛。在那个时代，很多人都这么干过，阿基米德做了他最大努力阻止这些人。这里，我们再一次回到阿基米德一生的史实。

死亡和来生

叙拉古是西西里岛最大的城市－－东、西地中海之间的枢轴。早先的入侵者都想占领它，最有名的是雅典在公元前４１５年，试图以武力强迫伯罗奔尼撒战争的结局，掠夺西西里岛的财富。那次远征的彻底失败标志着雅典帝国的末日。

因此，叙拉古人带着一股现实的希望，在公元前２１４年等待着罗马大军的到来。叙拉古已经整整一代人都处在有名无实的自由中，深深地陷于罗马帝国势力范围之内。无容置疑，阿基米德跟其他大多数公民一样，热切期待着摆脱罗马这种间接的控制。汉尼拔最近对罗马军队的胜利，看起来使这成为最终可能。叙拉古公开与迦太基人站在一边。除非罗马人能包围和降服这个城市，他们自己的命运已被判决。因为汉尼拔会通过西西里重新补充给养，而罗马人的元气还未从最近的灾难中恢复过来。罗马军队由于力量消耗很大，经受不住连续几年的围城。因此地中海的命运便依赖于这个问题：叙拉古能坚持足够长时间吗？

在此之前的世纪见证了一场军事革命。从古希腊重装备步兵在战场上撞击的战争，演化出一种新型作战方式－－围困战。这种军备竞赛的古代版本，便是所有城市都在建造城墙，而同时所有军事力量都在制造和装备投石机－－正是这些机器推动了军事革命。原则上讲，投石机无非就是一把巨大的弹弓，一旦发射，能把岩石弹出，撞入城墙或人堆。它可以达到令人惊异的效果，最终摧毁非常坚固的城防。但另一方面，你必须把投石机搬到城墙的射程之内－－那里正好可能也是城内守方的投石机射程之内－－因此，军备竞赛一直不断。

罗马人充分预料到叙拉古人会朝他们弹射岩石。然而他们还是注定要吃一惊。我现在引述波利比奥斯的话，他是一位非常清醒的史学家，在这些事件发生后不久作了记录－－这是我们研究阿基米德生平的最佳来源。下面便是叙拉古给入侵者出其不意的打击：

但阿基米德建造并准备了能达到任何射程的更为强大的投石机，从远程上狠狠打击了海上的进攻者［第一轮袭击是由海路］，使对方陷入极大困境；一旦这些投石机射得太高，他就随着射程的变短不断使用越来越小的机器，最终他彻底动摇了敌人的勇气，从而完全阻止了他们的进攻……［罗马人放弃了攻击，波利比奥斯总结道：］一个人的天才自我展现出来，竟是如此伟大而奇妙……无论海上还是陆地都十分强大的罗马军队，如果不是叙拉古的一个老人，本应完全有把握立即拿下该城；但是只要他在，他们甚至都没有胆量作进攻的打算……

阿基米德干了什么？毕竟，投石机在他之前就很出名了。让罗马人完全手足无措的，是守军投石机的精细瞄准和排列。没有任何“盲点”，这是个关键理由；否则敌人找到那些盲点，就能安全地从一点跳到另一点，大大地突破防御体系。

怎样才能避免盲点、瞄准投石机呢？这是个很难的问题，靠简单的反复校正根本无法解决。你必须有一个原则，按具体要求订制投石机－－也就是说，置于指定点的投石机，能覆盖精确的射程。

这里的核心，是一个深刻的几何学问题。投石机的推力与其质量大致相当（这决定了所施力的大小）。而质量又与其体积大致相当。那么，我们如何量度体积呢？就像我们量度表面积一样：将各维尺度相乘（表面情况下是两个，体积情况下是三个）。因为固体是三维的，它的体积相当于线性维度的三次方。让我们举个例，你有一台投石机，长度是一码，你想把它改造成双倍威力的投石机。明显的错误是将长度增加到两码：两码长的投石机威力不会是两倍，而是八倍。那么如何让投石机具有两倍的威力呢？为此我们必须找出二的立方根（大约为１．２６），然后按这个比率推出相应长度（以及所有其它线性尺寸）。求立方根绝非一件易事；它其实要求极强的数学技巧。希腊数学家们已经研究过这个问题，但鲜有人得到实际可用的解答。这些解答无一是在阿基米德的名下，但毫无疑问的是，他在公元前２１４年已发现并运用了这样一个技巧。

但我感觉到事情不光是这些。这里是我自己的一番纯粹的恣意猜想。毕竟，因为阿基米德知道飞石会在哪里着陆－－亦即，他在想象中跟踪飞石轨迹曲线－－那他难道不会专注于用几何曲线表达抛射运动的问题？他难道不会找到曲线－－他心爱的抛物线－－并用它来决定投石机的摆放位置？因为，毕竟阿基米德的学生伽利略和牛顿这么做了，他们的想法所依据的数学技巧跟阿基米德自己的没有多少不同。伽利略研究了抛物体的运动，牛顿研究了行星的运动，用的正是同样的抛物线。毫无疑问，阿基米德在建造那些机器时，本来会思考这些有趣问题的！

按照传说：我们想象公元前２１２年，阿基米德正在思考问题。围城的罗马人差不多被击退，阿基米德的天才战胜了罗马人的力量。自满情绪开始滋生。叙拉古人在狂欢庆贺，一名逃兵给罗马人通风报信，说哨兵们喝醉酒离开了哨位。罗马统帅马塞拉斯迅速派遣一队战士占领城墙上的位置，在这种战斗中，只要突破口一旦打开，游戏就结束了。很快罗马军队突袭了城市。他们没有多少需要仁慈的理由：叙拉古一直盼着罗马垮台，现在罗马时运倒转正是得意。即使对于罗马人，劫城的规模也属于史无前例－－他们拿走一切可以搬动的东西。

我们了解到，罗马人的战利品包括一个巨大的行星仪－－阿基米德自己制作的一项科学珍品。我们还了解到，马塞拉斯意欲抓获阿基米德本人，并带回罗马。但是－－历史上总是这样－－随着抢劫而来的是愚蠢的疯狂滥杀。这段有名的传说出自布鲁达克：

他自己一个人，正在借助图形研究某个问题，他全神贯注，盯着研究对象，他没有意识到罗马人侵入，城市被占领。一名士兵无意中突然发现了他，于是命令他跟着自己去见马塞拉斯。阿基米德拒绝了他，说要等自己研究完问题、确立论证后才行，于是战士大怒，拔出剑来，杀害了他。

传说就到此结束。（布鲁达克本人考证了其它几种说法，而真相仍可能是另一回事。）但这是个比较适当的传说。几只无知的手切割一份他们看不明白的科学遗产，几乎断送了阿基米德给人类留下的财富。然而，阿基米德没有死。

我们的结论要以清醒的历史事实为依据，而不是传说。让我们跟随一下公元前７５年的西塞罗。这时阿基米德已经死去一百三十七年了。西西里是一个罗马省份，是完全被征服的地中海的一部分。西塞罗本人是个财务官，属于岛上的高官。他也是一个有教养的人，对希腊科学遗产有着深深的敬意。他听说过阿基米德的旧坟，尽管被遗忘了许多年，他还能再找到它。坟上的旧碑文（阿基米德本人要求的）仍在：一个球体，还有一个刚好与其外接的圆柱体。

阿基米德证明了前者（体积）永远是后者的三分之二－－同样推理的杰作，使他极尽人类所能，逼近圆面积的值（化圆为方）。坟上的图形是不朽的。阿基米德第一个发现了深刻的、革命性的真理。这些发现最终导致了科学的诞生。但是首先，他的著作必须生存－－穿过历史的海洋，使近代科学在彼岸得以诞生。