我们可以从手稿中了解到很多东西。首先，我们能从中整理出有用的文字。我们能发现，生活在公元前三世纪的叙拉古，阿基米德有过什么样的思想。我们能发现，这样的思想是怎么影响到后世的所有科学。

而且我们能得到更多的东西：我们从手稿中不仅能够发现古代学者的思想，还能够知道他们是如何获得这些思想的。阿基米德是怎么通过他的数学进行思考的？他的读者又是怎么思考的？近期的科学研究对认知的转向，使我们提出这样的问题。要回答这种问题，我们必须从手稿开始，因为它们为这个基本问题的凭证提供了唯一来源：科学是如何在人们脑海里留下印象的？

事实上，现今我们大家头脑中对科学都有相当清楚的认识。作为一个例子，让我们来考虑以下实验。图４．１显示的是两本书中各自翻开的一页。花点时间瞧瞧：尽管它们字很小读起来费劲，但我们从中可以立刻得出一些结论。我们知道左边那页是有关科学的。实际上它是来自一段介绍微积分的文章（阿基米德是微积分研究的先驱，这一点我们还将谈到）。右边那页来源于詹姆斯·乔伊斯的《芬尼根守灵夜》（刚巧，它的内容和左页相比难辨得多）。

当出版商们说，他们不敢出版“看起来技术性太强”的大众科学图书，他们的意思是，希望出版物看起来象右页，而不是左页。今天的读者害怕什么？他们害怕方程式。理由很充分：他们在青少年期间，多年来一直被强制接受方程式。结果导致两个倾向，第一，我们讨厌方程式，第二，我们认为它们是科学之类学科的一种天然形式。这两种假定都是错误的。方程式是个了不起的发明－－即使你不喜欢它们，也应该尊重它们－－此外，他们并非自然而然的。相反，它们是一项历史发明，起源于类似“羊皮书”这样的文稿。希腊人没有用过方程式。阿基米德也没有用过方程式。他们的科学看起来了一点不象图中左页那样。

方程式之前

方程式使得逻辑清晰可见。假设你说：“第一项与第二项加和等于第三项；因此第一项等于第三项减去第二项。”

你得先想一想，才会明白其正确性。但这就是麻烦：你必须先想一下；与此同时你的注意力已经转移，推理思路也许就断了。反之，将这思路写下来：

A + B = C，因此
A = C - B

结论毫不费力就出来了：我们的眼睛看见了推理是怎么进行的。这时，注意力没有丢掉，我们能够继续轻松地推理下去。

我们看到，同样的信息通过不同的表达方式，作用很不一样。不同的载体方式很是重要，这不仅悠关科学的生存，同时也是因为其本身特点。的确，我们要真正理解古希腊科学，必须首先了解其基本表达方式。然而，这个表现方式不是方程式，而是图形。

希腊数学乃视觉科学

我们的出发点应该从叙拉古开始。特别是从前文详述的西塞罗故事开始：阿基米德的墓地。我们回忆西塞罗在经过一番努力之后，发现了一块孤零零被人遗忘的石板，上面是阿基米德为自己挑选的墓志铭：画有一个球体和一个圆柱体的图形。这是自我选择的科学符号。我们情不自禁再一次与爱因斯坦作比较。爱因斯坦的象征是什么－－能即刻浮现在脑海中的符号？不，我不是说他吐出的舌头；我是说这个：

E = mc2

你已经无数次见到过这个符号。它不仅成为爱因斯坦的象征，也成为一般科学的象征。当然，它只是一项方程式。那么简言之，这个出发点就是：现代科学是方程式科学；古代科学是图形科学。

古代的精确科学－－不仅是数学，还有天文学和力学－－以及许多其它领域，譬如音乐理论，总是以图形为中心。正文由许多单一的“命题”组成，每一个命题证明某一论点是正确的。已故的希腊数学史学家、英国人大卫·富勒曾说，每个命题是“画出图形，然后由此讲故事”。一切内容都围绕着那些图形。

显然，图形也广泛应用在现代科学中；但这里有一个很大的区别。现代科学中，图形是作为一种插图示范；其目的是帮助学生学习和掌握科学，而不是作为论证逻辑本身的一部分。现代科学中很关键的一点，是要确保任何信息都不倚赖于图形，否则如图４．２所示，你有可能得到一个错误的证明。

一个三角形的面积是其两个较短边的乘积再除以二。

证明：我们画一个三角形ABC。两个较短的边是AB、BC。在其中较长的边BC之上，再放一个与三角形ABC完全相同的三角形，即三角形BCD。结果是一个长方形ABCD。该长方形的面积很明显是两个边AB，BC的乘积。三角形ABC显然正好是长方形ABCD的一半（毕竟两个三角形ABC，BCD完全相同）。所以，一个三角形的面积是其两个较短边的乘积除以二。［证毕］

这个证明错在哪里？因为，它只是根据图形作假设，尽管正文中并没有提到这种假设的根据。图中我们凑巧画出一个直角三角形。对一个直角三角形，该证明是成立的。但对其它三角形就不成立了（参见图４．３，其中两个较短边的乘积显然比三角形面积的两倍还要大！）。简而言之，我们以为我们在讨论一般的三角形，但是我们却一不小心转移到了直角三角形，这都是因为我们轻信了图形。所以，现代哲学家和逻辑学家们坚称：不要倚赖图形！

这里涉及一个深刻的逻辑和哲学问题：语言是一般的，而图形是个别的。你不给它具体的个别特性，便无法画出一张图来。假设我想画一个三角形，它的角既不是直角，也不是锐角，也不是钝角，而是一个“一般”的角－－如何能做到？我无法做到。我在纸上画了某种确定的三角形，因为它是一个确定的三角形，它也具有某种确定的角。而另一方面，语言却更加包罗万象。我可以说，“假设有一个三角形”，因为我并没有说哪个三角形－－我只是说“一个三角形”－－我可以认为它是直角、钝角或锐角的。因此现代哲学家和逻辑学家坚持如下观点：为了确保证明的逻辑在一般意义上充分有效，我们必须仅仅依靠语言，而绝不能依靠图形。

希腊数学家们恰恰是依靠图形的，难以置信的是，居然没有出任何逻辑性错误。这是有关希腊数学的一个巨大不解之谜：它完全是图形式的－－同时也是完全正确的。希腊数学家从未犯过譬如上面简单例子那样的错，哪怕是微妙而间接的错误。希腊数学同现代数学一样地准确。怎么会呢？在后面几页，我会试着给出一个答案。

首先，让我们看看希腊数学家到底是如何依靠图形的。下面的内容取自于《球体和圆柱体》的第一卷－－阿基米德墓碑上展示的不朽成果。正如我们已经提到的，阿基米德的文字有种顽皮的风格－－机智而又风趣，总是在读者面前将论证的要点隐藏到最后一刻。因此毫不奇怪，这本书在前面几乎一直没有提到球体和圆柱体。反之，阿基米德不断反复地提及圆锥体。例如，这里是命题十七（参见图４．４）：

假设有两个等腰圆锥体ABG，DEZ，假设锥体ABG的底面与锥体DEZ的表面（面积）相等，再假设高度AH与从底面中心Q向锥体一侧（例如DE）所引的垂线KQ（长度）相等；我要说的是，这两个圆锥体是相等的。

这里的命题是根据图形提出的。图形是命题中的点和线被赋予意义的唯一之处。这些是通过字母标出来，跟我们今天的方式完全一样；实际上，是我们继承了希腊人的发明。（中国人过去用另外一种方法：每条线的标记方式，好似它有不一样的颜色。但除此之外，他们的文字系统大不一样。）

对于一个古典学者来说，最大的困难之一便是注意那些很显然的事物。“我们鼻子底下”的东西常常是最容易忽略的－－但是，一旦你注意到这些事情，它们可能变得很有价值。我就有这样一个时刻，当我正在思考希腊数学中这种简单的段落。我在自己的博士论文第一章中作出这一观察，坦率地说，我的大多数同行正是通过这一点了解我的工作。我大概死了以后仍然会被说成“对希腊图形发表那种看法的那个家伙”－－对此我觉得很烦恼，因为这大概是我作为古典学者做的第一件事。（我确实希望从此开始不全在走下坡路！）但，这是一项重要的观察－－因为它明确显示，希腊数学家并没有按照现代哲学家和逻辑学家所希望的方式工作。他们的确依靠了图形。

因为，你可以看到：在例如“圆锥体ABG，DEZ”的表达中，我们可以很容易猜测这些点ABG，DEZ中，每一点代表截过圆锥体的三角形的顶点（参见４．４）。但我们怎么知道这些字母各自如何分布的？每个圆锥体中，两个字母必须在底面，一个在顶点－－但哪个是哪个？这正是使观察变得很难的地方：因为视觉信息非常强有力，我们一旦看到图形，立刻就能“读取”信息，确定BG，DZ是底面，A，E是顶点；我们甚至没注意到，正文中根本没有这样说。事实上，这是贯穿希腊数学的一般规则：对象的描述不是通过文字，而是通过图形。图形并非作为插图而方便我们阅读；它们提供的是我们所需的最基本信息。图形告诉我们命题中谁是谁：哪个字母位于哪个对象旁边。古代图形不是示范用的，而是提供信息的；他们构成命题逻辑的一部分。故此，希腊科学是一门视觉科学。

那么，为什么希腊数学家没有从图中的信息犯下简单的错误？他们是如何保持逻辑完美的？这个原因同希腊数学利用了一个非常特殊的表达方式有关：微妙而高明的用图方式。

叙拉古之沙

阿基米德的图看起来是什么样子？我们现在能看到，按照威尔对手稿历史的解释，对这样的问题我们没有比较直接的凭证。实际上，我们有的最早期凭证，就在“羊皮书”当中。你的第一反应也许很绝望：如果我们的凭证远远不够原始，那我们还有什么机会达到目的呢？我们怎么可能对了解古代图形的样子寄予比较实际的希望？的确，这是个困难的问题。原则上，我们没有任何保证可以回答这个问题。有可能的是，中世纪的抄录者干脆发明了他们自己的图形，而不是忠实无误地按古代原本抄录。毕竟，现代的编辑很显然就这么做：发明他们自己的图。当我开始研究阿基米德的中世纪图形时，我无法知道中世纪抄录者是否也这样做。我最大的恐惧就是，我到了巴黎、罗马、威尼斯和佛罗伦萨，每次打开一本古书，发现那里的图完全不一样。如果情况真是那样，我的结论肯定是，古代图形无法重新构造。

与之相反，我打开那些书，一页页、一张张地查看，它们的图全是一样的。错误也会有，但都是偶然的。有些手稿中有更正，另一些没有（这说明原稿也许含有错误，有些被抄写人看了出来）。但是很清楚，图形都是相关一致的。它们都是复制的，不是发明的。简而言之，你可以运用文献学方法。我们拿不同的手稿进行比较。如果两份不同的手稿具有同样的文字－－或图形－－那么这意味着两者肯定有一个共同源本。这就允许我们回溯并推断一个更早期的源本。虽然我们不可能肯定这一更早期的源本一直能回溯到阿基米德，但我们要设法将凭证尽可能往回追溯，这一点仍然非常重要。

所以必须强调这一点。有时读者会失望，因为“羊皮书”一书并没有全部包括阿基米德的所有著述。有些著述包括在“羊皮书”以及古抄本A的各种后期版本中。但这绝对不是降低了“羊皮书”的价值。相反，从文献学方法看，具有不止一处来源这点极其重要。光拿“羊皮书”一本书，它能告诉我们关于公元９７５年的事情。但是每当我们拿“羊皮书”和其它独立的中世纪资料来源作比较时，它一下能够提供多得多的信息。每当我们发现“羊皮书”和另一份独立的中世纪手稿讲的是同样故事－－每当出现这种情况－－我们就能将日期往回推溯，可能是欧托修斯时代或者更早期的来源，这两种历史记录从那里开始分支。这一点便将我们与阿基米德的世界大大拉近。

这项工作的性质是复杂的。终究，古抄本A本身不复存在，我们必须重复运用两次文献学方法。我最初研究阿基米德手稿的计划仅限于古抄本A的后期版本（别忘了，当我刚开始这项工作时，“羊皮书”还没有出现）。因此我研究了那些手稿。

阿基米德的著作里大约有二百五十张图，先让我们拿其中一个举例：图４．５中，我们看到《球体和圆柱体》第一卷、命题三十八中图形的各种变体。根据这些变体，我能够重新构造古抄本A中丢失的图（图４．６）。你可以看到，各种变体之间的相似性如此之高，使我的重构结果相当可靠。只有一个细节：有两个抄本画有一条线AB，其余的抄本没有。因为线段AB不为正文所需要，我猜想它是在原图中就有的。留心一点的抄写人干脆就把它删掉了。有两位抄写人不太动脑子，只顾抄写他们眼前的东西：正是这个原因，他们成为更可信的证人。这是文献学方法中一个有名的悖论，所谓的lectio difficilior（“更难的解读”）：一段很差的文字很可能正是原始的文字。

这本身包括了相当一部分时间旅行：古抄本A的变体源自于十五、十六世纪，古抄本A自身（象“羊皮书”一样）很可能出现于十世纪。文献学方法已经让我们赢得大约５００－６００年：我已从文艺复兴旅行到了中世纪。但我还想继续我的时间旅行。我需要一台时间机器将我从中世纪带到古代。

威尔·诺尔邀我去看“羊皮书”的电子邮件，恰好提供了这样的机会。这就是为什么我会很激动。我就想看那些图。再说一次，这一点是个关键的决定。要么那些图形与古抄本A中的大致等同－－这种情况下我能重新构造古代图形；要么他们是不同的－－这种情况下我对“最初的阿基米德”的探索将停止在公元９７５年左右；结果也许是，拜占庭帝国的抄录者整个发明了自己的图，而不是从原件复制。

这里是我第一次去巴尔地摩时所见到的－－比较模糊，但形状已经足够熟悉：我看到了同样的图。的确，利用数字成像技术，我可以很有信心地重新构造此图。我把从古抄本A重构的图和“羊皮书”的图并排放一起（参见图４．７）。你看到他们几乎是等同的。这一条，是围绕着“羊皮书”的最为重要的发现之一：这是重新构造阿基米德图形的基石。

让我们按照文献学的方法继续下去。“羊皮书”不包括线段AB，并且它在圆周底部加了个字母A。那么，很容易想象抄写人在匆忙之中会如何忘掉单独一个字母。因此，我把古抄本A中缺掉的字母A归结于抄写人的错误，并假设它在共同的原型中是存在的。至于线段AB，就不大清楚了：它在这里是错的，既然只有唯一一本手稿（古抄本A）有此错误，因此完全有可能只是古抄本A的抄写人一人犯下的错误。当然，也有可能是一个更早期的错误，然后被“羊皮书”的抄写人更正，担却没有被古抄本A的抄写人更正。不过，我现在对“羊皮书”的抄写人有足够的了解，我可以告诉你，他一般不更正几何上的错误：从他所犯的一些荒谬错误判断，他显然对数学一窍不通。换句话，我相信线段AB没有出现在他眼前，也就是说，它不存在于作为两种古抄本A和“羊皮书”的共同原型的手稿中。至此，我完成了文献侦探工作，我认为，“羊皮书”保留了阿基米德《球体和圆柱体》第一卷、命题三十八（如图４．７）的古代图形，因而我们可以一路回溯到叙拉古。现在让我继续下去，考虑这一论点在概念上的深层意义。

希腊图形的逻辑

再次来看这个图。我刚说过，我相信它和阿基米德本人在叙拉古沙子上所画的图是一样的。我还相信，它说明了一个有关希腊图形的最关键的事实－－一个让图形成为极其成功的认知和逻辑工具之关键。它解释了为什么古代图形的确对数学证明作出了贡献，这点有悖于现代哲学家和逻辑学家的所有言论。

我首先需要跟你谈谈线段AZHBQDG。如图中那样显示的，这些线段看起来像弧形序列，非常像一个古代列鼓的圆形边。但是，它们在几何学上代表什么？它们代表一个多边形－－亦即直线序列。的确，从图４．８你能看到现代的编辑如何选择表示同样的图。他用直线代替弧线。他更喜欢直截了当。如果这是多边形，就让它看起来像个多边形。不像阿基米德，他似乎完全有可能用一个圆弧序列来显示多边形－－谁会关心它看起来怎么样？

这不是一个孤立的例子：譬如，可以比较我们在命题三十中重构的图形（参见图４．９）－－这篇论著里一共有十四例同样类型的图。圆弧在这篇论著中形成了绘图的原则，并且有着深刻的意义。

首先，我相信没人胆敢违抗手稿界的权威，引入这种极端的规定。假设你是抄写人，有报酬地复制原稿中的图。原稿中有多边形。那么，你将它们原样复制为多边形：你不会发明圆弧来取而代之。这个原因－－无人愿意引入这种违反原稿的习惯－－在手稿承传的每个阶段会一再重复。这种习惯规定的唯一解释，是假设作者自己是这么要求的。因此这个习惯规定将我们带到叙拉古海岸－－与阿基米德面对面。请允许我坦白：这个想法确实激发了我，也使我感到一种敬畏。因为图形有一种特别的“有形可触”的感觉。字是概念性的，图是物质性的－－他们是有形的。这便是阿基米德如何在手里拿根棍子描画图形的样子。如果我确实没错，而且我成功地重新构造阿基米德的图形，那么我就重新构造了他身体的某种延伸：那些是他个人留下的痕迹。

考虑下一个概念。用圆弧表现多边形的这个习惯意味着什么？这是我从阿基米德的图形中（而且也在其它中世纪手稿的图形中）发现的一个普遍现象的一部分。即：图形是非绘画式的。你画一个多边形－－但你不使它看起来象一个多边形。古代图形不是一张绘画或照片，而是一个概要图示。

这里是另外一个例子，再次使用“羊皮书”和现代出版的图形。这一次，让我们看看今天只在“羊皮书”中找得到的一张图－－《方法论》中的第一张图，在某种程度上是“羊皮书”包含的最重要的视觉凭证。当然，因为我们只有唯一的孤本，我们不能再利用文献学方法。我们无法拿这张图同其它中世纪手稿的图进行比较，从而得出初始的来源。但是，看看别的地方，我们已经对“羊皮书”取得了信心：我们已经见到，每当有可能将它与其它来源作比较时，“羊皮书”包含的图看来总是真实地道的。所以我们最好的猜测是，这里的图同样也是接近阿基米德的最初精神。

最后，我们来比较图４．１０中的两个插图。现代的那个是“正确的”。线段TH，ZA等，的确应该都是严格平行的。线段ZA的确应该在K点严格平分；同样，QG的确应该在同一K点严格平分。曲线ABG的确应该是微妙弯曲的抛物线形。简言之，这是一个绘画图：是忠实于对象的。而另一方面，“羊皮书”里的图是概要图：线段ZA并不在K点严格平分，线段QG亦不是；曲线ABG被徒手画成一个圆弧。这种是概要图：它们仅仅示意对象，完全不顾绘画的精确。

为什么希腊数学家画的图是非绘画式？为什么他们觉得概要图令人满意？千万不要认为这是因为古代制图师在一定程度上水平欠缺。他们能够绘制出精良壮观的美术作品。文艺复兴大师的伟大发现－－透视和错觉－－古代已经有了。我们通过很迂回的方式了解到这点：当罗马军队洗劫了叙拉古这样的城市，他们对希腊艺术产生了嗜好，并尽力模仿。在庞贝这种遗忘的城市，壁画能让我们了解很多古代艺术的水平－－它们显示出对制图术几何原理的清晰理解。例如图４．１１中的深度描写和透视画法。消失点很到位；错觉很强烈。这里，是庞贝城里的一面墙壁－－仅庞贝城一处就有上百面这种墙壁－－你能够欣赏到希腊人对绘画光学原理的理解。而且毫无疑问，这种对光学的理解在古代就有了。我们现存的几篇论著是有关光学的，其中一篇（作者是欧几里德）甚至包含一个关于绘画透视技巧的具体定理：侧面看过去的轮子，看起来象椭圆而不是正圆！换句话说，庞贝城壁画中的轮子所依据的几何知识，可以追回到欧几里德时代。

然而矛盾的是，希腊数学图形中，根本找不到这种精采制图的凭证。希腊数学家们有意选择回避绘画的方式，相反，却偏爱不仿照对象的“自由”、概括的简图。这是为什么？

原因是，那些奇异、违反直观的图形，是希腊数学家找到的对在证明中使用图形的哲学问题的答案。这一点微妙而深刻，值得我们仔细关注和欣赏。

还记得，使用图形有个哲学问题：即，他们是个别的。你想要提出一个关于普通三角形的一般论点（如怎样量度一般三角形？）。但是，你无法画一个普通的三角形：你得画一个个别的三角形。如果你刚好画了一个直角，那么你也许会误入歧途，以为一个三角形的面积一般来讲就是较短边的乘积除以二。你倚赖的是个别图形的个别性质。

不过，个别图形一定就意味着个别性质吗？这一点很微妙。我可以画一个绿色的三角形、蓝色的圆和红色的正方形。但如果我想要用它们进行几何论据，我不会提它们的颜色。西方传统认为颜色在几何学上不重要。颜色看来只是偶然的；在几何学范围内，颜色根本不属于图画的一部分。它的出现，仅仅是因为我们非得选一种颜色才能画出一个三角形。当然，通常我们使用黑色。但这并不使我们的几何学成为“黑色图形几何学”。颜色在此全然不相干。

想象某种传统，对角度大小这样的性质也像上面一样处理。于是（举个例子），一个多边形能由圆弧序列表示，没人认为这有什么错。因为如你所见，精确角度这种性质纯粹毫不相干：这不是一个几何学图案所代表的东西。精确角度有点像颜色一样。于是，当我们画一个绿色直角三角形，它是直角或是绿色，同样不重要。当然，它恰好是直角－－正如它恰好是绿色－－但颜色和精确角度都是无关紧要的，老练的读者可以不管它们。只有天真的孩子会看到一个“绿颜色的”三角形。也只有天真的现代读者－－在古代图形方面未受过训练－－会看到一个直角三角形。

用最普通的话来说：古代图形是概要式的，它们以这种方式表达几何对象更为普遍的、拓扑学的特征。那些特征的确是普遍和可靠的－－它们的图形表达完全不亚于它们的语言表达；所以，古代图形能够构成完全有效的论证逻辑的一部分。

因此，我们学到了阿基米德思维过程中关键和惊奇的部分，他的表达方式。他从根本上依赖了视觉；他通过概要图形来利用视觉，这些图形可用于完全严格的逻辑推理而不必担心视觉效果导致出错。当阿基米德在叙拉古的海滩上盯着自己的图时，他所看到的与我们今天能按“羊皮书”复制的图大多相似。我还知道，他所看到的也是他思维过程的关键一部分：将希腊科学推向成功的最基本工具之一。

美丽的数学

因此阿基米德有充足的理由让人把一张图放在自己的墓碑上。他的推理永远离不开图形。他以高明而微妙的方式使用了那些图形－－非常不同于现代插图示范的方式－－这样它们能够提供论证逻辑的一部分。

我认为我可以猜测到阿基米德墓的形状。我认为它非常简单。希腊几何学图形回避透视和三维错觉的复杂效果。那么如何表示一个球体和圆柱体呢？仅仅用一个圆及其外接正方形。我觉得，这也许是墓地那里的一切（或许在底下题写有一段陈述：圆柱体是球体的一倍半）。一个简单、朴素的图。古人常常喜欢在他们的墓碑上题写警句－－有关告别和遗憾的提示性短诗。这张图提供了一条如此简洁、有效的视觉警句。也许它类似图４．１２那样。

作为美丽的视觉警句，它能产生共鸣。令人想到许多其它的对象和发现。同一个圆和外接正方形的图形，首先令人们想起阿基米德测圆面积的成就－－卓越的圆周率近似求值。正方形和圆同时令人想到了长方形和抛物线，涉及阿基米德的许多重要发现，如出现在《抛物线求积》、《锥形体和椭球体》、《论浮体》以及《方法论》中的抛物线和其它圆锥部分。正方形内的圆差不多正好代表阿基米德大多数著述中的共同题材－－他的执著信念：量度弯曲对象。当然我只是做个猜测。然而我发现这个墓地重构很有吸引力。它将朴素形式和复杂涵义结合起来，将视觉警句和反映阿基米德微妙的讲故事天分的著作结合起来。正是在这个意义上，阿基米德的科学显得美丽。

当然，我们可以想象的美丽不止这一种。希腊数学图形是朴素的。其它的古代图片－－我们可以再次想起庞贝城（参见图４．１１）－－却是与此对立的。庞贝人的绘画属于豪华之美－－公元前２１２年大厦林立的叙拉古之美确是无疑的。数学亦非永远是朴素的。例如在十七世纪，阿基米德著作的形式非常不同。阿基米德的这个版本－－为牛顿所用－－诞生于１６１５年的巴黎，代表了法兰西君主的浓重口味（此书是献给这些人的）。球体和圆柱体的图形，增加了三维透视，制作豪华。里福特的图像可谓令人难以忘怀，但它们与阿基米德著作的数学重要性几乎无关。里福特把图形当成精确的示范插图，毁坏了古代图形的特定成就－－作为拓扑式概要图的朴素而抽象的精确性。

纯粹从视觉上讲，这种朴素图形的内在之美可能是非常强烈的。在这方面，阿基米德的论著《论螺线》非常强调视觉。几乎所有的图都很引人注目，你会觉得阿基米德研究螺旋线的部分原因是出于审美和视觉的迷恋。“羊皮书”中命题二十一的图（参见图４．１３）是最漂亮的图形之一。（它被祷告书的文字弄得有些模糊。）它极端地朴素，极端地非绘画式。仔细看，你会注意到此处螺线并没有被画成一根平滑弯曲的真实螺线，而是画成了不同圆周的圆弧序列。短直线特别明显－－它们的确完全类似于我们在《球体和圆柱体》中见到的弯曲多边形。这里我们再次看到希腊图形的非绘画式特征。每根短直线代表一段短弧线。（在《球体和圆柱体》中，弧线被用来表示直线；这里在《论螺线》中，直线用来表示弧线。）

当然了，这里说的是公元９７５年的阿基米德。不过我相信，无论从图形还是从整体视觉影响来说，这基本忠实于古代的阿基米德。譬如，狭窄的文字栏列，便很有意义：这个可以回溯到莎草纸卷书上的文字（写在一系列很窄的栏列中）。前面说过，我们没有完全相似的古代对等物可供比较，但我们还是有一些科学著述以莎草纸形式存留了下来。它们不如阿基米德或欧几里德的著述那样重要，但它们仍然能使我们了解很多古代科学的面貌。这其中最早的，是一篇很短小的天文学文章，名为《Ars Eudoxi》，现存在巴黎，保留在卢浮宫，在那里它被简称为“Pap．Gr．1”，意即希腊莎草纸第一号。它确是非常古老的莎草纸抄本－－来自公元前三世纪晚期，有可能是在阿基米德还活着的时候书写完成的。其中狭窄的栏列、潦草的概要图、干净而未修饰的文字，所有这些都在提示我们从阿基米德自己的手稿传统中学到的东西。我相信古代科学看起来就是这个样子。

真正的原稿肯定不是以书的形式出现的。正如威尔·诺尔所言，这是它与“羊皮书”的主要区别：古代著作是卷书的形式，不是书的形式。你不是将阿基米德的著述一页页翻过，而是将它们展开。威尔指出过，这种形式多么不便于提取信息－－比如从字典中。但我认为，卷书实际上对于几何学的连续阅读是相当便利的。威尔没有说错，因为当人们从卷书过渡到抄本时，他们也从一种强调连续阅读的文化过渡到另一种强调信息提取的文化。这其实就是终极参考著作《圣经》的世界。

正如以下所示，卷书对几何学来说更为便利。你是否阅读过一个超过两、三页的几何问题？那么你可能还记得当时的体验：阅读中前后来回翻页，正文和图形之间来回切换，阅读文字时忘记了图形，研读图形时又忘记了正文。从这一点看，卷书是个好得多的方式。（我认为，几何书应该在卷书上印刷！）你把卷书展开，在你眼前，是全部完整的正文加上插图。这就是古代数学卷书：一个优美的节俭设计。把它看成相当于一台灵巧的意大利咖啡机：简单线条的结合就是一个完美的产品。

这种简洁，不单体现在图形中，还体现在文字中。这是文字史中要考虑的主要话题－－不仅是数学的，而且包括任何其它文字。文字最终是多样化的。古代文字比现代的要简单：不像我们现在用许多字体，特别是不像我们区别大小写字母，古人只知道一种字体，没有大小写变化－－全是大写。古代的文字看起来像这样（THIS IS WHAT ANCIENT WRITING LOOKED LIKE）。《Ars Eudoxi》看起来象这样，阿基米德的原始文字看起来也是这样。这种简单和优雅是独一无二的。

当文字变得多样化，方式也在变化。在中世纪－－或者说在“羊皮书”中－－抄写阿基米德著作使用的文字早已变样了。对于数学表达方式的历史，这种文字同样重要。我已经说了，如今的数学象征是方程式，是符号的排列。这是起源于中世纪的漫长历史过程的结果。对此，我们再回到“阿基米德羊皮书”。

数学符号的中世纪起源

“羊皮书”不仅是公元前２２５年的重要证据，而且也是公元９７５年的重要证据。抄写阿基米德著作的人或许没有将数学概念推进多少。他毕竟不是阿基米德。实际上我认为这个抄录人根本不懂数学。但他确实对数学表达“方式”的历史做了贡献。他选择的书写方式、页面安排和将著作集中起来的做法，这一切都影响到后世数学家如何解读阿基米德作品。从阿基米德叙拉古时代直到今日，历史上这一点毫无疑问：抄录人、排字工人和出版商，对科学史都做了默默无闻的贡献，有时甚至同科学家本人的贡献一样重要。

抄录者们默默地发明了数学符号。正是如此，他们为现代科学最强大的工具－－现代方程式－－铺平了道路。当９７５年那名抄录人精确复制着阿基米德图形的时候，他正在为现代科学方程式的诞生铺垫道路。

让我们来看“羊皮书”一个段落。图４．１４来自于《球体和圆柱体》第二卷第二命题。正如我们从希腊图形看到的，阿基米德最初用希腊语书写的文字没有一点点装饰。ARCHIMEDES WROTE LIKE THIS（阿基米德象这样书写），更准确地是，ARCHIMEDESWROTELIKETHIS（单词之间空格也是中世纪的发明）。特别是，阿基米德文中没有任何缩写：每个词都是完全拼写出来。

然而，抄录人的工作是很繁琐的：一个词接一个词，一个字接一个字，全盘复制。使用缩写简直太有道理了。如果一个词老是重复，为什么不能造一个符号直接代表它，而不是一次次原样照搬？肯定这会有审美的不利。当缩写太多，文稿可能看起来不再像希腊文，而是有点像速记了。比方说，一个为卖高价创作的诗歌作品，不会使用很多缩写。但是一个像数学这样的技术性著作很可能不会卖高价。“阿基米德羊皮书”是一个杰出、优美的抄写技巧范例，但它不是豪华手稿。没人会阻止抄录人使用缩写。

那么让我们回到《球体和圆柱体》一文。这里是其中一段文字的翻译：

（１）因此如［线段］KQ比［线段］QE，［线段］QE比［线段］EG，并且因此如KD之上［正方形］比由KQD［所含长方形］，AG之上［正方形］比由AEG［所含长方形］
（Therefore as the [line] KQ to the [line] QE, the [line] QE to [the line] EG, and therefore as the [square] on KD to the [rectangle contained] by KQD, the [square] on AG to the [rectangle contained] by AEG）

你首先会注意到，我的英文译文占用的空间比手稿中的希腊文多得多。这有两个原因，一个是阿基米德的缘故，另一个归因于中世纪抄录人。第一个是那些方括号。阿基米德在写作中不用诸如线段、正方形、长方形之类的词，他让读者自己从上下文推断。正是这样他才能写出非常节俭的文稿。阿基米德使用的语言，是一个优美的、最低纲领派的设计，吻合其优美的、骨架式图形。他能够用很少的字－－因为读者已经知道他谈的是什么东西（正如读者能正确“解读”最低纲领派的图形，这是因为读者了解这些作为数学图形的本质）。因为阿基米德只用大写字母，单词之间不用空格，所以他的文字看起来象这样：

（２）因此如KQ比QEQE比EG并且因此如KD之上比由KQDAG之上比由AEG
（THEREFOREASTHETKQTOTHEQETHEQETOEGANDTHEREFOREASTHEONKDTOTHEBYKQDTHEONAGTOTHEBYAEG）

这个作为一种表达方式，的确有些棘手。

这时，中世纪抄录人采取了一些关键步骤，发明了更有效的排字界面。使用不同的大小写－－大写挨着小写－－具有了不起的价值。这样我们就能将图示所用字母（这些永远大写）同其它文字（这些变成小写）区分开。单词之间采取空格，是第二项主要发明。这两者一起，让我们看到的是更加熟悉的文字：

（３）因此如KQ比QE，QE比EG，并且因此如KD之上比由KQD，AG之上比由AEG
（Therefore as the KQ to the QE, the QE to EG, and therefore as the on KD to the by KQD, the on AG to the by AEG）

这时中世纪抄录人又作出另一项主要发明－－这是他们自己的贡献，使文字非常紧凑。他们引入了缩写。他们这么做的理由，不是出于任何数学上的深谋远虑。他们这么做，是因为懒惰。因此，抛开反复地抄写“pros”这个词（希腊语意为“to”或“比”），他们干脆嵌入一个符号，看起来有些象我们的大写西格码，S。还有其它缩写或符号，譬如对“as”或“如”（有点象w），对“and”或“并且”（有点象K），还有对“therefore”或“因此”（有点象Î），这些都标在图４．１４中。所以最后的文字看起来象这样：

（４）Î w the KQ S the QE, the QE S EG, K Î w the on KD S the by KQD, the on AG S the by AEG

另外注意，希腊字“这”常常可以写成一两个字符（按阴阳性和大小写而变），取代英文“the”的三个字母。我用简写t’来代表它，让我们完整地品尝一下原始文字的韵味：

（５）Î w t’ KQ S t’ QE, t’ QE S EG, K Î w t’ on KD S t’ by KQD, t’ on AG S t’ by AEG

同样，这完全有可能令人困惑，而且你可能甚至更喜欢例（１）那种展开形式，而不是例（５）的缩写形式。你可能觉得例（５）是用天书写的。但这完全是习惯问题：你只不过有必要学会这种特别标记法－－我们也是这样学会我们自己的现代标记法的。例如，一位现代数学家完全有可能将同样的文字写成如下形式：

（６）à KQ:QE::QE:EG
à KD2:KQ*QD::AG2:AE*EG

这完全和例（５）一样，如同天书一般难懂。阿基米德本人一定不知道例（６）是什么意思，正如一个现代读者面对例（５）而不知其所云。你必须学会标记法－－然后天书作为内容的符号表述就完全讲得通了。

这一点有很深的涵义。所有的例子－－从（１）到（６）－－包含了完全同样的意思，改变的只是包装。区别只是在表达方式。但我们看到，不同的表达方式能导致多么大的差异！缩写标记法的发明，确是现代科学发展的关键步骤之一。

这项发明的历史仍然有待研究。古典学者只是最近才开始将中世纪手稿视为自身有趣的文件，而不是装有上古信息的匣子。抄录者怎么会发明一个像例（５）那样的系统？我们仍然不知道全部答案；我们仍然在收集证据。作为阿基米德最早期的现存手稿，“羊皮书”将成为这项研究的关键凭证之一。

这段历史－－科学表达方式的历史－－大的轮廓却是清楚的。图形科学过渡到了方程式科学。的确，在这个高度概念化的数学思维领域内，这两者可被视为运用人类视觉功能的两种不同方式。我们从一种视觉科学－－以图形为基础的希腊科学－－过渡到了另一种视觉科学－－以符号和方程式为基础的现代科学。

“阿基米德羊皮书”处在过渡的中途：它是我们能够间接获取的有关古代图形科学的最好凭证；是有关符号和方程式新兴科学（当时为初期）的主要凭证。

数学的经验

我提到的一切－－数学图形的本质、数学页面的美丽、数学记号的发明－－这一切导致同一观点：数学是经验的事物。当然，数学是一门高度概念化、抽象化的学科。但即使抽象的内容也必须由人以某种方式来掌握。它必须通过眼睛感觉。作为人类，我们有能力了解抽象概念，但我们只能通过自己的经验了解它们。最抽象的概念必须有某种感官上的包装，通过语言的声音和视觉的加工品。对于人类，理解一件事，首先是看和听。

这个正是最近几十年来，哲学家、逻辑学家、史学家和认知科学家之间正在形成的共识：认知和逻辑，抽象和具体，最终无法分离。这一点在某种意义上，一直为古文书学家（研究古人写作的古典学者）所了解。

在研究古代手稿时，你会习惯于这种问题：原文是怎么写的？抄录者发明了哪些视觉工具？页面应该如何使用？你研究手稿，其实是同时研究内容和形式。文字传递的思想也许是抽象的，但它们以具体形式的描述却不是。这的确是一个物理对象－－正如威尔·诺尔所谓的：匣子里的阿基米德大脑。这是所有一切的目的：通过研究图形和符号的认知历史，研究页面和手稿，我们希望了解阿基米德的大脑－－在公元前的叙拉古城生成智慧和力量的大脑。

只不过，当我和威尔·诺尔在１９９９年春天会面时，我们几乎无法一瞥这种凭证。９７５年完成的手稿，随着流逝的千年时光将我们远远带离拜占庭全盛时期，几乎被抹掉遗忘。该是重新加入约翰·迪恩和威尔·诺尔跨越地中海之旅的时候了，我想弄明白这一切是怎么发生的－－这个手稿如何变得面目全非，无法辨认；然而又不断逃过劫难，幸存下来。