史寧中教授解讀《數學課程標準》的核心概念

史寧中（東北師範大學教授，博士生導師）

張丹：在新課程標準修訂中，一個非常重要的是把過去的雙基也就是基礎知識和基本技能變成了四基，就是增加了基本數學思想和基本的數學活動經驗。為什麼要增加這後兩基，它的價值在什麼地方？

史寧中：中國傳統的數學教育或者說是整個基礎教育特點是雙基，就是基礎知識和基本技能，通常人們是這樣說的，基礎知識紮實，基本技能熟練。基礎知識指概念的記憶和命題的理解。基本技能主要是指作題的技能和證明的技能，因此我們過去的這些教育對知識本身的掌握應該是沒問題的，而且做得很好，那還缺少什麼呢？缺少就是現在國家希望培養的人才，就是創新型人才。我們想一下，一個創新型人才除了知識之外，還需要一些什麼東西呢？我想主要是思維形式和思維方法，他想問題會不會創新性的想，當然還有一個創新意識問題。這些東西必須通過本人參與的活動才能夠學得會，老師教是教不會的。我們先不說創新型人才在第一個層次來講，比如說智慧，你說一個人很聰明，他有智慧，表現在什麼地方呢？表現在別人做不了的時候，他能想辦法解決了，他就有智慧，他就聰明，比如在解題過程中，甚至在玩的過程中，他有一個方案，或者在做實驗的過程中他有一個技巧，這些表現的是智慧，因此這些東西是表現在過程之中的，而過程之中的東西只能通過過程培養，通過語言的闡述是不可能培養出來的，怎麼思考問題，怎麼教也不行，他得自己去想一些問題，他才可能想明白。因此在這個意義上，沒有基本的活動經驗是不行的，基本活動經驗就是教我們的孩子如何思考問題，最終要培養這個學科的思維方法，更高的就是培養學科的直觀。因為對於數學來說，所有的結果是看出來的，而不是證出來的，而如何會看結果，完全是憑藉經驗，憑藉思維形式和思維方法，所以現在在雙基基礎上變為四基的本質是想培養學生的思維形式和思維方法，培養學生的智慧和創造力。

張丹：我是不是可以這樣理解，一個創造型人才，或者創新人才，實際上是兩方面，一方面需要具備知識和技能，但更重要的是得有直觀，像您說的直觀，有一些思維方法，而這個離不開我們的活動。

史老師：你說得非常對。一個創新型人才，簡約的說，還有很多條件。大概是需要知識和思維，這兩個都是需要的，當還有創新的意識，創新的條件，那是額外的。

張丹：就是對新增加的數學的基本思想和數學活動經驗，我覺得在小學可能非常重要的就是數學活動經驗，您能具體的闡述一下數學活動經驗，到底什麼是數學活動經驗。

史老師：就是老師創造一些背景，從頭徹尾的讓孩子思考問題，從開始思考問題，這是很重要的。因為以後要創造的話，開始階段就得能夠思考，要不然中途沒有人提示，是沒有辦法中途思考的。比如在小學階段這個問題是稍微難一點的，但是也是能夠做的，我舉例來說一下，如果想在課堂上完成這樣的教學，比如一個題目就是識別正方形，識別正方形有很多辦法，第一個可以用眼睛看，但是眼睛看經常會出現錯誤，老師可以舉出很多例子，橫豎的例子，大家都知道，看豎的比橫的要長一些。

張丹：小學差不多在1、2 年級有這個情況，就是你把正方形這麼擺他能認出來，如果旋轉45度很多孩子認為它不是正方形。

史老師：所以光靠眼睛看是不夠的，那最好的方法就是量一量，量四個邊相等就是。你也可以讓學生嘗試，但是如果尺的話，特別是沒有刻度的尺，現在中學義務教育階段尺規作圖尺是沒有刻度的，沒有刻度的尺怎麼辦呢？這樣的題給學生提問題了，學生可以把正方形對摺，但是對摺得到的不一定是正方形，對摺得到的可能是長方形，那怎麼辦，還得斜過來折。所以這樣的時候，老師不要告訴學生怎麼做，老師是啟發讓學生來做，我認為這個就是重要的。

比如還有角，比較兩個角的大小，你用量角器當然可以，不用量角器怎麼辦，挪一下比，當然可以了，還不讓挪過來比，那學生就拿圓規畫一下，然後再量畫軌跡之間的長度來判斷角的大小，這樣的思維我認為才是有必要的，我認為這個是在課堂上能完成的教學活動經驗，就是培養孩子如何去想。這裡有一個很重要的問題，我現在在教學中發現有些老師有一些問題，他組織學生活動，組織學生很好之後，他判斷學生說得對和錯，還是看結果，這個教育在本質上還是結果的教育，不是過程，他應該更多的判斷學生思考的過程，是不是有道理，我一再強調，要培養思維方法，這個是很重要的。但是更多的活動可能是超出一堂課的活動，也可以。

比如這回在課標里舉的上學的問題，上學的時間問題。上學的時間問題，老師不教孩子懂得這些道理很重要，首先要把家裡的表和學校的表對齊這樣的一些思維很重要的東西，就是在我考慮問題的先決條件如何，這是很重要的問題，然後把上課一個禮拜的上課時間拿來，有一些數據，在這些數據裡面你能得到什麼結果，老師要啟發孩子，但是一定要孩子得到一些結果。比如最多我需要多長時間，最少需要多長時間，或者平均需要多長時間，讓孩子們在數據中能夠得到日常生活中的很多信息，這樣也是一種思維形式和思維的方法，這樣的課在小學階段，我非常知道我們的老師們很有創造力，有了一些想法之後，可以能夠創造出很多教學情景，完成這樣的教學。

張丹：聽了您這段話，我覺得對經驗可能跟原來認識又不一樣了，原來經驗可能更多講的是學生經歷一點事情，這是重要的，但是現在我覺得經驗非常重要的是思考。

史老師：你可千萬別是解題的經驗、理解的經驗。

張丹：特別是你提到思考有這麼幾個，一個是從頭開始思考，所以課標在原來的分析問題和解決問題的基礎上特別明確提出要發現問題和提出問題。

史老師：這是很重要的。一個所有創造，連問題都發現不了創造什麼呢，所以這個要從小培養，經驗的積累是日積月累的，不見效，見效很慢，所以這個時候老師可能不願意這麼教，但是為了國家，為了培養孩子，你必須這麼做。我想從小學到初中甚至到高中，一直在這麼教，那可能中國基礎教育就會改變面貌。

張丹：另外您提到那句話，如果想培養學生去思考，老師也要跟着學生一起思考。這點我覺得特別重要。我們第二個非常關注的問題就是在新課程標準中，進一步明確了一些核心詞，比如說數感，符號意識，運算能力，建模思想，空間觀念，幾何直觀，推理能力，數據分析觀念還有就是創新意識，您能不能對這幾個核心詞中的幾個或者整體您給做進一步的解釋。

史老師：我想一個老師要講好課，首先要對整個課的前後關係應該非常的清楚，一步步的，你要教的知識在關係中處於什麼地位，這是第一步要清楚的。第二步是你說的核心詞，這個是在知識以上的東西，這個要搞清楚。第三步老師要知道教書的重點和難點是什麼。重點和難點是不一樣的，重點是在知識過程中起關鍵作用的一些東西，難點是學生很難掌握。如果這三個層次的東西都掌握清楚了，它教課就會很自如了，剛才談的數學思想、經驗，只是上個層次的，現在正好進到下一個層次。

像數感，數感這個東西主要是對小學而言的。數感，數是什麼東西呢，數是從數量抽象而出來的，兩匹馬，兩頭牛抽象出2，2本身是不存在的，存在的是兩匹馬和兩頭牛，所以在孩子們突然接觸到抽象出來的東西之後，對數和現實生活中的表現應該建立一個關係，這個關係是很重要的，這個關係如何建立呢？你想數是從數量抽象出來的，數量的本質是什麼，數量的本質是多和少，多和少動物肯定知道這個事，這個本質。一個狼來了，狗可以對付，來了一群狼它肯定跑，它就知道多和少，多和少抽象出數的關係變成了大和小，所以數的本質是大和小。這個是很重要的。因此孩子們應該感覺到這一點，地球和太陽之間的距離的時候用光年用多少，談到家裡到城市某一個地方去的話，用公里來談，談校內的情況可能就用幾百米來談，談教室的情況可能幾米，在桌上可能是幾厘米，這個感覺應該很清楚。這樣的話，突然出一個東西跟你日常的感覺不對的話，你就會提出自己的觀點，怎麼會不對呢。所以我認為這個就是數感，建立起抽象的數和現實中的數量之間的關係，並且能夠知道這個大小和現實中的多少之間的關係，這個大概是數感很重要的本質問題。

張丹：另外在新課標中，或者在教材中，把估計也作為了培養數感的一個非常重要的內容。對於估計或者是估算這方面您感覺它對人的價值是什麼？

史老師：估計是非常重要的，對培養數感估計也是非常好的。估計和數的運算有什麼區別呢？估計的運算腦子裡一定要想到量感，好比你談到公里的時候，那就是小數點一位就足夠了，估算，甚至只要談到公里就可以了，不要談到米，但是你談到屋裡的大小的時候，你就得談到米的單位，在米的單位下進行運算就可以了，厘米我可以不顧忌，但是在桌上畫的時候，那可以他到厘米的單位，再往毫米就不估計。這樣的運算叫做估算，所以你在買東西的時候，一般的東西以元為單位，你就估計到元，如果買電器產品，以千元為單位，就估計到千元。所以估算在本質上還是一種基於對數量的運算，而不是數理運算。當然在算的過程中是數，但是腦子裡想的那些東西應該是數量，就是有量剛的，這個是估算的本質，要脫離了這個本質，估算就沒有意義了。所以你先算完了之後再四捨五入，估算不是近似預算。

張丹：現在也有些誤區很多老師把估算就像您說的教成了四捨五入，或者讓學生脫離了背景去算，所以也造成了一些困惑。那麼我感覺就是數感的核心就是數量和數之間的關係的理解或者是感悟。那您進一步談談符號意識。它的核心，它的本質是什麼？

史老師：符號太重要了，沒有符號就沒有數學，因為數學上用數進行的所有運算都是個案，而數學要研究一般問題，一般問題只能通過符號來計算，因此在教符號的時候，要注意兩件事情，第一件事情，符號可以像數一樣進行運算和證明。第二件事情就是通過符號得到的結論是具有一般性的，2+3 等於3+2，7+8 等於8+7，你算出100 個數都是個案，只有證明了A+B 等於B+A 才是具有一般性的，我想這是符號一個很重要的問題。

張丹：從具體到一般，或者從個案到一般，是為了表達一般的結論而得到的東西。那就是進一步我們用符號去刻劃的過程中，可能有兩個我覺得非常的重要，一個是符號之間的運算或者數之間的運算，也就是運算能力。另外我用符號解決問題的過程中會產生一些模型，所謂建模思想。那就是運算能力和建模思想這兩個方面請您再進一步談一談。

史老師：運算能力是很重要的，但是運算能力不是計算速度的快慢，現在很多地方非常強調計算的速度，其實不是重要的，一個是會算，第二個別算錯，這兩個是本質的。會算不是靠死記硬背的會算，應該懂得道理，運算這個事情不懂得道理是不行的。事實上，現在為止，整個數學只有5 種運算，加減乘除和極限，極限就是後來微積分這些東西了。運算一開始都是從加法來的，它的逆運算變成了減法，它的簡便運算變成了乘法，除法又是乘法的逆運算，因此這個事情必須掌握得非常的清楚，這樣的話為什麼要先乘除後加減呢？老師講課總是說規定，為什麼先算括號里後算括號外呢，是規定，為什麼加法結合律為什麼對減法也成立，是規定，為什麼分配律對除法也成立呢，這些東西都是規定的話，這個學生你除了靠大量的計算外，他很容易出錯的，比如為什麼先乘除後加減呢？比如2加3乘3，為什麼是2加9等於11，為什麼這樣呢，就是我剛才說的，乘法是加法的簡便運算。2加3乘3是這個意思，就是2加3再加上3再加上個3，如果是這樣的話，必須是2加9等於11，他說不一定，規定的事情，我們老說規定，規定的事情有兩個可能，一個可能是這麼也行，那麼也行，比如數軸，我們規定向右，其實規定向左也行，交通必須往右側通行，左側通行也無所謂，但是這一點，大家規定得一樣，不一樣大家沒有共同語言了；還有一種規定事實上是一種合理的東西，為了把它說得更簡單一點就變化了規定。就像我剛才說的先乘除加減，實際上它是合乎常理，為了把這個話說得更簡潔一些。所以我們在教學過程中，不應該所有的都說規定，能講得還稍微講一下，孩子們明白了算理之後，就不容易錯了，靠死記硬背只有靠大量的練習沒有辦法，這樣就會造成孩子們課業負擔過重，所以這塊我認為還是很重要的。

剛才你跟我談到模型的問題，模型是一種數學很重要的東西，我基本理解模型是這樣的一種東西，並不是2X 就是模型，甚至方程5X加3等於7就是模型，這不一定，它只是用來表示模型的一種工具。真正的模型應該是這樣它闡述了現實世界或者是想象的一個故事，比如方程，故事在某一個量它倆是一樣的時候就把方程建立起來了，比如最典型的模型是什麼，就是路程等於時間乘速度，這也是個模型，這個模型知道了，列方程，好比甲乙，總是甲乙，一個人先走，一個人後走，倆人一塊走，有一個人到哪溜達半天再聚也行，都可以，但是有一點是必須達到的，要不然就是在距離上他倆相等，要不就是在時間上他倆相等，要不就是在速度上他倆相等，這個就是模型，把握故事的核心，他們在量上是等價的，所以可以構建方程，這個我想是模型，要掌握成這樣，模型就不是很多了，這樣我們的教學就可以進行得比較好。

張丹：這個我覺得也是比較有啟發的，原來我們對運算能力，在小學要算快算對，實際上今天我們談到了不僅僅是，首先是算對，但同時背後的道理也很重要。模型給我們的啟發也是，像我們原來很多的應用題，分了很多類型，其實本質上可能像您說，原來有什麼追擊問題，相遇問題，同向的，反向的，但實際上它本質上都是路程、時間、速度這樣的一種關係。所以有人說，方程好象就是有用兩種不同的方式來講一個故事，所以就畫出了等號。另外我發現在課標中還有一個很有意思的例子，新課標關於雞兔同籠，它與我們原來的處理很不一樣。原來在中學主要是用了二元一次方程組來處理，在小學更多的是用所謂的假設兔子站起來，這種方法，學生根本就想不到，但是課標的處理和它不大一樣。

史老師：對，課標的例子是我想的，我就是想，孩子們如何能夠得到公式。還是我一貫的思想。後來我覺得雞兔同籠，差兩腿太難了，變簡單點，把問題儘可能化簡，然後再一般化，這是基本思想。後來我就變成椅子和凳子了，椅子是4個腿，凳子是3個腿。一共有16個椅子和凳子，一共有60個腿，問有幾個椅子和凳子。一般是可以講道理，讓孩子列公式，事實上不一定必須這麼講，正常的數學想法就是你試一試，假如16個都是椅子的話會怎麼樣，16個都是椅子的話，你發現64個腿，腿多了，要減椅子加凳子，16個椅子加1個凳子，63個腿，還是多，那麼再減，這樣的話，孩子就能把結果得到，而且能夠把公式得到。這麼樣，一個是啟發孩子如何一步步的思考問題，還有一個就是增加孩子學習的自信心。你看我多厲害，我公式都可以得到，所以這樣的教學我倒是認為應該嘗試一下，所以數學不一定都是從講道理開始的，因為道理孩子們不一定能聽懂，但是你可以嘗試，讓孩子在過程中琢磨出道理來。大不了就是多一個少一個差一個腿，把這個理悟出來的話，我甚為這個就是數學活動經驗也好，也是數學思想的培養也好，我想就是這樣的。

張丹：這個確實是挺有意思，因為我最近也聽了這樣的課，孩子真的能從試一試的的過程中發現很多規律，有的孩子開始是一個一個的往下減，減減他如果發差的數量很大的話，他會跳着。

史老師：慢慢的他會自己想問題了。

張丹：還有的孩子是從一半開始試，先看是往上走，還是往下走。所以孩子確實就像您剛才說，我們把學生教的更加聰明更加智慧。而不是僅僅的就是照着題來解題。還有就是我曾經也聽您說過，對於學生非常重要的是讓學生試一試，這件事是非常重要的。

史老師：事實上，所有的重大的成果，都是試出來的，在一個非常簡單的環境下，試出來的，然後在談在非常一般的情況下會怎麼樣。甚至可以這麼說，很好的一些科學文章，你看着很複雜，但是寫的人腦子裡的東西是很簡單的，他只有在很簡單的時候，才能夠清晰，才能夠嚴禁。

張丹：另外在標準中，圖形這方面，提了兩個關鍵詞，一個是空間觀念，後來又增加了幾何直觀。就關於這兩個詞您覺得它們的側重是什麼？

史老師：空間觀念主要是對小學來說。幾何直觀是對初中來說，本質是幾何直觀，剛才我談到了，要培養學科的直觀，這個不光是數學，大概所有的學科都要培養學科的直觀，對於數學來說，可以有代數的直觀，可以有幾何直觀，可以有統計直觀，但是代數的直觀非常的困難，統計的直觀也非常的困難。沒有相當的訓練是建立不起來的，最簡單的就是幾何直觀，為什麼因為幾何直觀看得見摸得着。對小學的時候不能對學生要求太高。這樣的話，知道一些方位。空間觀念的核心不是一個點，而是兩個點。所以數學在本質上研究是關係，兩個點之間的方位關係是空間直觀。比如從這個點，你猜我看在哪邊，其實這個比較難的，如果能這個想清楚，這個孩子邏輯思維能力就挺強的，就是在你那看，我在什麼地方，這樣的思維如果都能達成的話，這個孩子邏輯思維能力就很強，這裡空間好象是一個直觀，其實有一個邏輯思維能力，它們之間的關係。

張丹：空間觀念不僅僅是簡單的視覺，是思考的邏輯，有推理在裡面。那麼自然的推理能力也是數學一個非常重要的東西，過去我們可能對推理就是幾何證明，現在的推理還有在課標中有演繹推理，當然演繹推理不僅僅局限在幾何，還有一個以歸納為主的叫核心推理，或者叫什麼，您對推理的歸納和演繹之間您是怎麼看的？

史老師：首先我們得說什麼要推理，推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。那麼一個推理是不是有道理，或者是一個推理是不是有邏輯的，就是應該有一條主線能夠把思維過程穿起來，那就是有邏輯的。這樣說話就沒有邏輯了，蘋果是一種味道，蘋果是酸的，酸的是一種味道，那麼蘋果就是一種味道，這也是推理，這個推理不正確，所謂不正確是沒有邏輯，為什麼沒有邏輯，沒有一條主線能夠把這些穿起來，所以一個推理是否有邏輯的核心，就是一條主線能夠從頭徹尾的命題判斷內涵里有一個共同點，一直從頭徹尾能夠貫徹下來，這是邏輯推理，就是有道理的推理。然後有兩種情況，一個是命題的範疇由大到小推理，這個叫做演繹推理。犯人都有死，這個命題很大，蘇格拉底是人，命題小了，蘇格拉底又死了，這樣的，是這麼包含下來的一種推理，這種推理永遠不會錯，所以這種推理叫做演繹推理。還有一種推理是從小到大的推理，從小到大的推理是這樣的，蘇格拉底是人，蘇格拉底又死，柏拉圖是人，柏拉圖又死，亞里士多德是人，亞里士多德又死了，所以我推斷，犯人都有死，這個推理不一定是對的，因為它是從小命題，你命題範圍大了，那些命題可能又不成立的，從小到大的推理，這個不一定是對的，不一定對的，但是是發現真理的辦法。就像我剛才舉的A平方減1的，我才推到6，我就給公式給出來了，那這個公式很可能是錯的，不一定是對，然後再用演繹推理再證明一下，所以這兩個思維過程是極為重要的，一個是發現結果或者預測結果的方法，一種是你預測了結果是否正確的檢驗方法。所以這兩個方法，如果你想培養創新型人才，這兩個辦法都必須教，側重任何一個都是不對的。這裡還有一個問題，就是演繹推理一開始因為歐幾里得的原因，他證明的第一個幾何題是這麼一個題，給一個長度，能夠根據這個長度，做一個等邊三角形，然後他用圓規在這畫一下，在這畫一下，一連線，然後證明等邊三角形，用了等量的等量，還是等量的公理，他的證明形式就是說完之後括號是因為什麼原因，結果後來證明都是這麼證的，這麼證不符合人的正常思維。所以我到是想，初中的證明過程，孩子們只要思考的本身有邏輯的話，就應該算對，不應該過分的追求形式，形式不是主要的，還是實質。證明的實質是主要的。

張丹：就是培養他能夠自始至終的有條理的思考是重要的，至於他用什麼樣的形式表達，我覺得不一定要統一的形式。

史老師：什麼叫有條理，我想我也解釋了。

張丹：在核心詞中，我覺得還有一個核心也是大家非常關注的。在原來的課標中把它叫做統計觀念，在新課標中，把它叫做數據分析觀念，可能大家就在思考，第一為什麼要改個詞。第二個現在的數據分析觀念的一些實質是什麼。

史老師：這個是非常核心的，現在在加了統計的內容，統計內容我覺得加得是非常有必要的。我看到國外對中國義務教育階段的培養一直讚賞的是加了統計，這個是很好的事情。但是統計不能按數學那麼教，因為它的出發點不一樣，數學的出發點是公理或者假設。統計出發點是數據。所以我說一個講課的方法，你們看看這個區別在什麼地方：拋一個硬幣，正面、反面。可能會出這樣的題，連續拋5個都是正面，第6個是正面的可能性是多大，答案還是二分之一，為什麼是這樣，你假定了出現正面二分之一，是你假定的，你用假定的東西來進行回答，那是數學，不是統計，要搞統計的話，連續出了5個二分之一，我就懷疑硬幣不是均勻的。所以你講課這麼講，好比說一個袋子裡有5個球，4個白球，一個紅球，但是你並告訴學生，讓孩子摸，摸完之後，因為白球比紅球多，最後你問孩子，白的多還是紅的多，通過這些數據，能夠知道一些什麼，能夠得到一些信息，這些東西就叫做數據觀念，這是統計的基本思想。

張丹：就相當於從數據中去進行一些推測或者說從數據中幫助我們做一些決定，這是非常重要的。

史老師：就是在數中含有信息，這個信息能夠對我們的決策提供參考。

張丹：您說到這，讓我想起我在東北師範大學上學的時候，在東北師大附小，把您的問題讓學生去做了。也是不告訴他袋子裡有多少個球，讓孩子們去猜袋子裡是紅的多還是白的多，袋子就不讓他打開。學生去摸，在摸的過程中，他確實體會到，我多摸幾次，然後我看看摸出來的哪種多。而且特別有意思，有一個孩子回答我印象很深刻，我後來問他這麼一個問題，說你們覺得這個遊戲好不好玩，可能孩子覺得好玩，但是也有孩子也提出了，你為什麼不讓我們打開袋子來看一看，就直接看就得了。後來我就把這個問題拋給孩子，有一個孩子說如果球特別多的時候，不又允許我打開的時候不能判斷，他又聯想，比如說我想知道池塘里有多少個魚，我根本沒有辦法一個一個的打開看，所以我就可以從中撈一個，看看裡面是金魚多還是什麼多，由此我推斷魚的比例。

史老師：但是現實生活中，大部分我們不知道，我們還想知道，但是這個例子是一開了。以後逐漸學得多了，他就要往這方面走了。

張丹：所以後來說，是不是也是屬於他的經驗。

史老師：孩子有這樣的思考，千萬不要打擊孩子的積極性，就讓他這麼想，有想象力是創造的基礎。

張丹：我想從這個角度看統計，確實統計能夠激發人們去猜測，去創造很多東西。

史老師：統計在本質是歸納。從特殊情況來預測一般的情況。這是典型的歸納的想法。

張丹：另外我發現在數據分析觀念中還有一條，讓學生了解到處理同一個問題，可能有不同的方法，這個問題是很多老師不太習慣的。老師總認為。好像一個情景最好一個方法。這個地方您能給我們稍微解釋一下。

史老師：因為這個是預測，幾乎怎麼說都可以，就是誰說的有道理，所以不在於對和錯，是在於他說的方法好還是不好。比如說打籃球，打籃球一個人投10個球中了8個，一個人投了籃球中了1個，你選隊員選哪個，你肯定選8個的，為什麼呢，他投中的比較多，為什麼投中多，因為投中的可能性是十分之八，那個人是十分之一，這是一個方法，就是投球的總數和他投中球的比一種估計方法。但是這個人投了一個球投中了，你能說他是百分之百嗎？這個時候還有一種方法，把底下加兩個，上面加一個，就是1加2等於3，1加1等於2，他估計投中率是三分之二，這是一個估計方法，這個方法也是一個很好的方法。所以估計方法認準只是這一個是不對的。因為大千世界是非常複雜，所以針對問題的背景，選擇合適的方法，這是人類智慧的表現之一。

張丹：變得比較靈活了，也是很有趣的。最後兩個關鍵詞，就是關於創新意識和應用意識，您看看關於這兩個您還有沒有想要跟老師們建議的？

史老師：創新意識不要認為創新真是創新，孩子真能創造出新東西很困難。就是他得到了他自己不知道的東西就是創新。創新很重要的是培養自信心，他覺得有趣，他覺得經過了認真思考，得到的結果很高興，這是創新意識，這個是很重要的。因此像我一開始講的儘可能讓學生得到一些東西，是很重要的。所以這個是創新意識。應用意識不僅僅是解幾個應用題的問題，應該意識還是我想說的會規劃，從頭徹尾想明白。我們現在的學生出國留學的學生很多就是不會寫研究報告，得不到資金的支持，因為從小沒有這個訓練，因為真正一個創新也好，比如設計一個旅遊，從頭徹尾想一想，應該怎麼，或者是一個班會，新年晚會，要多少水果，算一下，這個東西我們大概能有多少錢，這個想法，像這樣的應用就是有構想性的應用，而不是老師把題都出完了之後的應用，這樣的應用是很重要的，這是對培養應用意識很重要的。

張丹：就是他有這個想法，想發現問題，同時他又能夠設計解決問題的途徑。史老師：就是問題的提出他自己提，問題的難點是什麼，他自己知道，像這樣的事情跟剛才說的活動經驗是一致的，就是這個是很重要的，這個東西在我們過去不培養，不培養的話孩子老也沒有這個經驗，到了18歲還沒有經驗，或者大學畢業還沒有這個經驗的話，你讓他怎麼創造，這個是不好辦的，所以這個還是很重要的。

張丹：其實這些東西都是聯繫的。

史老師：整個本質上是一樣的。