杜車別 論數學的本質 2011-12-24 10:11閱讀：2,871 數學的本質是什麼？ 到了現代，當然沒有人再會把數學當成是單純是研究數量關係的學科了。但如果去看一些介紹數學的科普書籍或百科全書，發現其對數學的定義大多仍舊比較含混不清，諸如研究抽象結構，研究空間關係之類的說法仍舊顯得過於空泛，並沒有真正表達出數學的本質。 我認為數學的本質要素有三個：抽象、變換、推廣。一切數學對象，一切數學流程都是建立在這三個要素的操作之上。抽象，抽象的抽象，抽象的抽象的抽象，抽象形成的對象的變換，變換的抽象，抽象對象的推廣，變換的推廣，推廣的變換，諸如此類，等等。 數學中最基礎的概念不是數，或點、線、面之類。而是集合與映射。一切數學分支，一切數學對象，本質上都建立在集合與映射的基礎上，理解了這一點，你就理解了數學。 所謂抽象，當你把一些對象放在一個集合里，這就是抽象。（當然這只是粗略的簡單說法，深入思考的話可以在此基礎上給“抽象”下一個更嚴格的定義）。 當你把一個集合映射到一個集合，這就是變換。 當你抽取一個集合的子集，構成新的集合，也就是一些子集的集合，這就是推廣。 當然，更嚴格的說基礎概念不應該是集合與映射，而應該是類與映射，這是為了避免集合論導致的悖論。 如果一些類能成為類的元素，我們就把這樣的類稱為集合；如果一些類不能成為類的元素，那這樣的類就稱為本性類。 通過這樣的區分，我們可以避免類似羅素悖論之類的悖論，原先羅素悖論說如果一個集合是所有不屬於自己的集合構成的集合，那顯然無論這個集合是否屬於自己，都構成了悖論。而現在我們可以說所有不屬於自己的集合構成的類是一個本性類。 不過為了方便起見，下面我們還是使用集合的概念。 我們不妨從小學算術說起，看最簡單的小學算術基礎上，如何能構建起整個現代數學的大廈。 首先從任何小學生都要學的自然數，也就是0、1、2、3、4、……說起。 自然數的本質是什麼？自然數的本質就是集合 我們考慮一些對象組成的集合，這些集合的元素是一些貓也好，一些狗也好，一些人也好，一些沙子也好，一些凳子也好，一些糖果也好，或者一些抽象概念也好，如果一個集合A與另外一個集合B之間能夠建立起一一對應的映射關係，我們就把這兩個集合放到同一個集合里去，成為同一個集合里的元素，按照這種方式，所有的集合都會被分配到對應的不同集合中去。 按照以上的方式，所有屬於同一個集合的集合之間，我們稱之為等價，這個等價滿足反身性（一個集合自己與自己等價），對稱性（A如果和B等價，則B一定也和A等價），傳遞性（如果A和B等價，B和C等價，則A和C等價）。 按照以上方式，所有屬於同一個集合的集合可以視為同一個對象，我們拿出其中的一個作為代表也可以，用一個符號來表示它們也可以，通過這樣的一個操作，實際上我們就得出了自然數的概念（嚴格說是比包含自然數在內的更廣義的數的概念，比如所有自然數的集合對應的數是阿列夫0，直線上的點構成的集合對應的數是2的阿列夫0次方，二維空間中的點，乃至無窮維空間中的點和可以和一維空間中的點建立一一對應，因此對應的數也都是2的阿列夫0次方）。 所以自然數的本質是集合，0表示的是空集，1表示的是所有能和一根手指建立對應關係的集合，2是所有能和兩個手指建立一一對應關係的集合。 而且通過以上定義的等價關係，我們也有了無限和有限的定義，所謂有限是那些子集不能等價於母集的集合（部分不能等價於整體），無限是子集能等價於母集的的集合（部分能等價於整體） 我們來看一下能夠對自然數做什麼？ 首先我們能在自然數之間建立序的關係，比如k、n都是自然數，如果k代表的集合元素，能夠和n代表的集合的真子集元素一一映射，就定義為kn 如果k代表的集合，能夠和n代表的集合本身建立一一對應的關係,那就是k=n. 我們可以看到任何兩個自然數之間都可以存在這種序的關係,或者小於,或者大於,或者等於,並且所有這些關係都滿足傳遞性,所以自然數是一個全序的集合。 有了全序的概念，我們就可以接着定義稠密或稀疏的概念，我們可以看到並不是任意兩個自然數之間都存在第三個自然數夾在它們兩個當中，所以自然數不是稠密的。 那麼能否構造一個數學對象的全序集，使得這個集合中任意兩個元素之間，都能有同屬一個集合的第三個元素，夾在它們當中呢？從而使這個全序集是稠密的 這時候就需要“推廣”出場了。 但在推廣出場之前，我們先讓變換出場。 對自然數最基礎的變換就是加法，加法的實質不過是我們給出任意兩個自然數，我們都能讓其對應到第三個自然數。更具體點，我們可以把加法定義為了，兩個數所代表的互不相交的集合進行併集的操作，形成的併集的等價類。 可以驗證自然數範圍內的加法滿足封閉性、結合律、交換律。 我們可以把加法推廣到乘法，乘法就是一個數不斷對自身進行迭代的加法操作。自然數範圍內的乘法同樣滿足封閉性、結合律、交換律。 並且乘法和加法滿足分配律 有了了加法和乘法，我們就可以把自然數推廣到一個稠密的全序集 我們先定義，自然數集合到自然數集合的映射，稱為一個函數，比如f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,……，這f就是一個函數，函數有定義域和值域。也就是通過映射f,集合A內的元素被變換到了集合B內的元素，這個集合A就是f的定義域，B就是值域。 如果f的定義域是集合{1，2}，值域是自然數集。所有滿足這個條件的函數構成的一個集合，再在其上的元素之間建立等價關係，在其等價類之間建立大於和小於關係，那就構成了一個稠密的全序集 事實上這種函數的本質就是一個有序自然數對，任何一個這樣的函數都可以用一個有序對來表示（k,n) 也即f(1)=k,f(2)=n,或者也等價於一個集合的集合{{k},{k,n}},所有這種有序對(或定義域為自然數的函數,這是同一個對象的不同叫法)組成的集合(集合的集合的集合),記為N×N 然後我們在N×N之上建立等價關係R，如果有兩個有序的自然數對，（k1,n1）,(k2,n2),其中n1、n2都不等於0 並且k1×n2=n1×k2，則記（k1,n1)R(k2,n2),可以驗證這個等價關係滿足反身性，對稱性，傳遞性 用類似的方式可以定義（k1,n1)小於或大於(k2,n2)。 然後可以定義N×N之上的加法和乘法運算，（k1,n1)+(k2,n2)=（k1×n2+n1×k2，n1×n2）；（k1,n1)×(k2,n2)=（k1×k2,n1×n2）。 同樣可以驗證其滿足結合律、交換律、分配律 並且原先等價的對象，進行這些運算之後形成的對象之間仍舊等價 這樣N×N之上所有按以上定義的等價類構成了一個全序集，記為（N×N）/R,並且這個全序集是稠密的，也就是任何兩個不同元素之間，都必定有第三個元素夾雜在它們之間 實際上，按以上方式定義後得到的數學對象，就是小學生都會學習的正有理數，而有理數的本質恰恰就是自然數有序對構成的等價類集合，也就是有理數的本質是集合的集合的集合的集合。 而有理數也可以通過用另一種方式來推廣得到，就是乘法推廣，得到乘法的逆運算除法，而有理數可以看成是除法生成的數學對象。 有了有理數，是不是推廣就終止了呢？ 我們看到有理數雖然是稠密的，但是有理數卻並不連續，有理數是無法和一條連續的直線段上的點建立一一對應的關係的，它不是一個連續統 從直接的乘法運算的推廣，也就是乘冪運算中，我們也可以發現有理數的不連續性 最簡單的，我們把有理數分成兩部分 一部分的有理數滿足x的平方>2 另一部分的有理數滿足x的平方<2 這樣一來，所有的有理數實際上被分割到了兩個集合之內，並且一個集合的所有有理數小於另一個集合內所有有理數（注意，任何一個有理數的平方都不可能等於2） 這兩個集合包括了所有的有理數，但是下端的集合沒有上界，上端的集合沒有下界 這種情況，我們就可以稱為不連續的。 那麼我們怎麼樣才能得一個全序集，這個全序集是連續的呢，也就是所有這個全序集的分割形成的兩個集合，要麼下端的集合有上界，要麼下端的集合有上界，而不可能出現第三種情況。 其辦法就是把所有有理數的分割本身當成集合的元素，一個分割就是一個數學對象，在這個分割之間，建立序的關係，也就是大於小於等於的關係，分割構成的集合，其部分子集可以和原來的有理數一一對應，這也意味着原來的有理數被包括了這個新的數學對象的範圍之內。這新的數學對象，我們就稱為實數 而有理數分割的本質，其實就是有理數子集構成的對，所以實數的本質又是有理數的集合構成的集合。 推廣到這裡，我們就從自然數到了有理數，到了正實數，有了實數，我們就可以把數和直線上的點一一對應，進而實數對可以和面上的點一一對應，這樣就從數的範圍，進入了解析幾何的範圍 但從有理數推廣到實數，也就是把那些不能包括在有理數範圍內的數，我們稱為無理數的對象添加到有理數集合上的結果。而對無理數最初的認識就是從乘方運算，開方運算得到的 那是否開方運算就能產生所有的無理數呢？ 答案是否定的。也就是在有理數和實數之間，其實還有一個集合，它是大於有理數的範圍，但小於實數的範圍 這就是代數數。 我們把如下形式的稱為多項式方程 an×x的n次方+a(n-1)×x的n-1次方+……+a1×x+a0=0 如果x的冪次所有係數都是整數 那麼滿足這樣整係數多項式方程的所有數就稱為代數數，不能滿足就稱為超越數 那也就是說所有有理數都必然是代數數，它們是一次代數數，而類似根號2這樣的無理數就是二次代數數，依次類推 可以證明雖然代數數包含有理數包含自然數，但代數數的個數其實和自然數是一樣多的，也就是代數數可以和自然數一一對應，實際上所有用來表達整係數多項式的符號是一個有限的數字，比如16，那一個整係數多項式就和一個16進制的數建立了一一對應，而每個整係數多項式的解都必然是有限個，而可以證明阿列夫0的平方仍舊是阿列夫0，通過這樣的方式，我們就可以證明代數數可以和自然數一一對應 實數是代數數的集合併上超越數的集合形成的數集 而多項式的概念，又如何從小學算術里得到呢？ 實際上任何十進制數的記法，本身就可以看成一個代入具體值的多項式 如4781=4×10的立方+7×10的平方+8×10+1 我們對這樣的十進制數做抽象化處理，也就是把10看成可以換成任意一個其他的自然數，那這就是一個整係數的多項式，如果再去掉每一位的數字都必須小於10的自然數的限制，那就推廣到了任意整係數多項式，如果保留係數必須小於x的限制，那就是從十進制推廣到了其他進制 另一方面，從十進制數也可以推廣出模和餘數的概念，在十進制的記數法中，模就是十，任何一個自然數字都可以看成是十的整數倍加一個不能被十整除的餘數，記為n≡r(mod 10)，如果n1減去n2是10的整數倍，那就稱n1和n2按照模10成立同餘關係，記為n1≡n2(mod 10)。（其實這裡可以不涉及到減法而直接定義同餘關係）。我們可以證明同餘關係是一種等價關係，也就是滿足反身性，對稱性和傳遞性 把其中的模10換成任何其他的自然數，就得出了一般的同餘關係，比如一般時間按照小時來算是以12為模（也可以用24做模），角度是以360為模 由於同餘關係是一種等價關係，我們就可以把所有自然數按照某個確定的模分割成彼此互不相交的集合，每個同屬於一個集合的自然數可以看成是彼此等價，也就是屬於一個等價類，並用一個符號來代表它們，這樣按照同餘關係形成的等價類作為元素組成的集合，就形成了一個新的數學對象，這個數學對象，也可以定義加法，乘法運算。如果模為m,這個數學對象的集合，我們可以記為Zm 我們注意到和自然數不同，Zm中的元素都是有限個，其中任何兩個元素相加後的結果必然仍舊屬於這個有限集合，並且其中的元素按照不但滿足加法的結合律，每個元素按照加法都有自己的逆元素 （注意到我們前面沒有引入負數的概念，按照這裡，我們或可把負數定義為按一個元素在每個模下的等價類下逆等價類，按照模的次序形成的無窮有序列，這樣負數也可以定義成集合的集合的集合……，以符合我們開頭對推廣下的說明） 另外到了這裡，我們就可以直接在小學算術的範圍內引入群、環、域的概念 我們把自然數抽象掉，自然數涉及的加法，乘法抽象掉，代之以更一般的集合概念，以及運算概念，結果就可以引入群論，環論，域論 比如群論來說 當一個集合，和定義在這個集合上的二元運算（變換）滿足如下四條性質的時候 我們就可以稱這個集合為一個群 第一條是封閉律，也就是任何屬於集合元素，經過運算之後，仍舊屬於這個集合 第二條是結合律，參見加法的結合律 第三條是集合內有幺元，也就是任何元素和幺元運算後的結果都是元素本身 第四條是任何元素在集合內都有逆元，也就是元素和自己的逆元運算後的結果是幺元 如果運算還滿足交換律，那就是一個阿貝爾群，也就是交換群 顯然對任何m>0,Zm按照加法都構成了一個群，如果m為素數，則去掉零元後的集合對乘法也構成一個群 把負數包括進去，那整數對加法構成了一個群，對乘法構成了一個幺半群 所以群論實際上是可以在小學算術的範圍內就引進來的 有了群的概念，就可以引入子群的概念，也就是群的子集本身構成一個群，有了子群的概念，就可以有子群在母群中的指數的概念 而注意，這時候可以對定義整數範圍內的同餘關係進行更進一步的抽象，而這種抽象實質上又能把同餘關係推廣到更一般的群上 整數範圍內的同餘關係是兩個整數相減後的結果如果是某個整數m的整數倍，我們就稱這兩個整數按照模m的同餘 是一種等價關係。而某個整數m的任意整數倍形成的整數集合，實際上就是整數這個群的一個子群 所以同餘關係的實質就是一個整數和另一個整數的逆元素運算後的結果屬於整數的子群，那麼這個兩個整數之間就建立了一個等價關係 現在把整數也抽象掉，代之以任何群的元素，也就等到同餘關係的推廣 任何一個群，如果它的一個元素和另一個元素的逆運算後得到元素，屬於某個子群，就稱這兩個元素以這個子群為模建立了同餘關係，如果不是交換群，那還可以區分左同餘和右同餘，左同餘和右同餘相等的，對應的模就是正規子群，一個群如果沒有的真的正規子群，那就是單群 最簡單的排列問題，比如一副牌的順序變換，把所有可能的變換放在一個集合理，那就構成了一個群，然後定義偶置換，奇置換，所有偶置換構成的集合是交錯群，所有的交錯群里，只有四個位置排列的群的交錯群不是單群，其他都是單群。 而正規子群，單群等概念又和五次以上方程無一般根號解有密切關係 群論在現代物理學上有廣泛應用，而它本身卻不過是一個相當簡單的概念，其基本概念可以從小學算術的概念進行推廣而得到，而這種推廣本身又是抽象、推廣和變換的交織， 初等數論中同餘的概念被推廣了，模的概念也被推廣了，其實按照這種方式，類似偶數，奇數，質數也可以被推廣成更一般的概念（也即更高程度的抽象），可以建立廣義質數的概念，類似哥德巴赫猜想之類問題的解決或許要依賴於這類性質的概念推廣，在更抽象的層面上，用更一般的方式解決。 類似的，我們還可以據舉一個抽象、變換、推廣的例子 比如一個有序對（x,y）,我們已經說了可以和一個定義域為自然數有限集合的函數看成是等價的 這本質上建立了坐標和函數之間的等價關係 一個二維坐標也就是一個二維空間中的點可以看成是一個定義域為{1,2}的函數，一個三維空間中的點可以看成是一個定義域為{1,2,3}的函數 一個無窮維空間中的點，可以看成是一個定義域為整個自然數集合的函數 那由此我們可以想到，以上的維數坐標實際上都是離散的，無論二維，三維，無窮維，它們都是離散的維數 但連續的維數空間，又應該如何，這時候，就不可能再有以上的那種坐標表示方式，而只能表示成一個函數，這個函數的定義域就是實數域 通過這種方式，任意的函數實際上都對應於某個空間中的點，如果函數的定義域是離散的集合，那個空間的維數就是離散的，比如二維空間，三維空間，乃至無窮維空間 而定義域為連續的集合，比如實數域，所有這樣的函數所組成的空間，其維數就是連續維 而一個空間，按照數學可以定義距離，從而形成一個距離空間，距離的實質就是兩個點，映射到一個實數，這種運算滿足三角不等式等等性質，然後就是一個距離空間，比如二維歐氏空間中的兩個點距離就是（x1-x2)的平方+（y1-y2)的平方，然後再開根號 那連續維的空間，當然也可以定義其中的距離，一個函數就是其中的一個點，兩個點之間的距離就是函數之間的距離，不過這時候的距離計算，就要用到積分 同樣原本離散維數空間中的一些概念，歐氏空間中的一些概念，可以推廣到連續維數的空間中去，形成一些定理 而我以上所說的這些東西，其實就是泛函的實質，只不過一般泛函分析的教科書可能並不是從這個角度上去引入概念的而已，但其實質內容是完全一樣的 從這個意義上說，一些泛函分析的內容同樣是可以對只有小學算術，平面坐標概念知識的人引入的 再如數理邏輯，按照上面介紹的全序集，半序集的概念，如果一個命題A可以推出命題B,則稱A>B,反之就是小於，同時滿足大於和小於關係的命題就是等價命題。由於並不是任何兩個命題之間建立這種序的關係，所以所有命題組成的集合，只能是一個半序集。一組命題集合，其上界就是公理，公理就是無法從其他命題推出的命題 同樣也可以在概念組成的集合上建立這種序的關係，如果一個概念A用另一個B來定義，就稱概念A小於概念B,按照佐恩引理，一個半序集的任何非空全序子集都有上界，則該半序集一定有極大元，則所有概念組成的半序集，也必定有極大元，也就是最初始的無定義概念。 我們還可以建立概念的運算，命題的運算等等，也就是把應用於其他數學對象上的抽象、變換、推廣應用到概念和命題上去，由此就會形成數理邏輯。 無一例外，任何現代數學的分支本身都可以從原初一些更簡單的概念中通過抽象、推廣、變換而得到 圖論、對策論、概率論、拓撲、微分幾何、代數幾何、動力系統等等無非如此 這種抽象，變換和推廣可以無限迭代，重複下去，抽象再抽象，推廣再推廣，變換再變換。 我們也可以數學定義為抽象、變換、推廣生成的一個群。 而任何現實事件中的對象，按照以上流程處理，都能轉變為數學對象。 其實小學數學裡完全可以把現代數學裡的一些基本概念，基本思想引入，比如介紹了整數和一些初等數論知識，就可以介紹群域格環，微積分之類也可以直接進入初中課程，微積分運算本身其實不過是建立在一些簡單變換規則的記憶基礎之上，比如求導的規則，求原函數的規則，而這些規則的記憶並不會比記憶九九乘法表和加法表更繁難。至於嚴格的數學基礎，比如實數論基礎，極限思想，函數連續乃至可微的定義等等則也可以通過簡單的抽象，推廣的方式加以介紹。 一個人到中學畢業，就應該掌握現代數學裡的基本概念，熟練掌握微積分，群論，以及包括廣義相對論，量子力學在內的基本知識。理解其思想實質。一個現代人，如果不能掌握這些知識，就可以定義為文盲 如果一個教育系統能實現這樣的目標，那就是一個合格的現代教育系統，但遺憾的是目前世界任何一個教育系統都達不到合格的標準，不必論中學，甚至大學和研究生教育都不能，從這個意義上，絕大部分人都是文盲。 總結以上所說 數學本質就是抽象、變換、推廣生成的群 打個比方，就是抽象為靈魂，變換為血肉，推廣為筋骨 任何數學活動，都無非是抽象的過程，變換的過程，推廣的過程 計算是變換，定理的證明是變換 而賴以變換的對象，賴以變換的根據，又是在抽象的基礎上，推廣的基礎上形成的。 數學能力本質上是抽象的能力，變換的能力，推廣的能力 而這種能力又必須通過嚴格的訓練，才能得以實現 而遺憾的是目前國內的任何學校體系的數學教育，都無法提供這樣的訓練 數學能力的訓練本質上和肌肉的訓練是一樣，只有遵循確定的，科學的，有序的步驟才能得以提高。 只是一味沉浸在初等數學，高中數學範圍內進行題海戰術，做大量的難題，固然無法真正實現數學能力的提高。做再多的題目都不知道現代數學為何物。 而只是按照順序把初等數學到高等數學，現代數學的一些內容填鴨式的記憶，也無法真正實現數學能力的提高。填再多的知識，都不能真正明了其思想精髓。 只有把題目的訓練，和知識等級的提升，按照一定適當的比例，按照一定的步驟進行，才可能有數學能力的提高。 現在的大學數學系本質上不提供任何等級的數學訓練，這種教育只能是失敗的教育了，中國數學水平總體的低下也就是必然的。 而中國文明要真正崛起，脫離數學的進步是不可能的。一個在數學上是二流乃至三流四流的國家，它在現代文明里也只能是二三流的國家。 不僅如此，一些哲學問題，政治問題，經濟問題，乃至歷史問題，要進入更深層次的研究，也必須把相應的概念上升到數學概念的層次上。 比如民主的概念，自由的概念，存在的概念，其實都是可以數學化的，而只有把這些概念數學化了，對這些問題的討論也才能有真正實質的意義。 包括經濟上的問題，華羅庚的計劃經濟全局最優化，其實還是把相應的問題做了一個最簡單的數學抽象，離開真正有實際意義的地步還是相差很遠的。而他做的抽象，其實也可以看出涉及的問題也是市場經濟的基本問題。脫了數學，對這些經濟問題要有本質的理解是不可能的。 但另一方面，問題的棘手在於，最簡單的問題，在數學上也可以呈現無限的複雜性，就如一個簡單排列問題，對應數學上的是有限群論，其涉及的複雜性恐怕就讓人望而卻步了。一個簡單的非線性迭代，非線性偏微分方程都會呈現令人頭疼的複雜性 （由於上網不便，以上是一個簡單的草稿）