數學在19到20世紀有很大的發展，一般來講，它是有連續性的，有一個主要的主題，然後由這個主題向各方面推展，有基礎方面的澄清，有向各方面的應用。最近，數學和理論物理的關係、數論方面的重大發展、計算機的引進在數學上引出了新問題，等等，對老問題有很多幫助。種種跡象表明，數學是有很強活力的，所以21世紀有很多事情要留給大家做。

　　近些年來，中國的數學有很大進展，怎樣根據這個進展，再向前推一步呢？20世紀20年代法國有很偉大的數學家，如皮卡、阿達馬、蒙泰爾，那時他們都老了，他們的工作方向都是複變函數論，與近代數學，像抽象代數、拓撲都失掉了聯絡。那時候法國一些年輕的數學家覺得不一定要跟這些老先生學，決心自己念書，自己發展。這就是後來出現的有名的布爾巴基學派，他們在數學的發展史上起了很大作用。

　　在此，我還想講個故事：有些人可能會想，數學家們一天到晚沒有事情可做，無中生有，搞這些多面體有什麼意思?我認為，現在化學裡的鈦化合物就跟正多面體有關係。這就是說，經過2000年之後，正多面體居然會在化學裡有用，有些數學家正在研究正多面體和分子結構間的關係。我們現在知道，生物學上的病毒也具有正多面體的形狀。這表明，當年數學家的一種“空想”，經歷了這麼長的時間之後，竟然是很“實用” 的。

　　不做主流也無妨

　　現在談談主流數學與非主流數學的問題。大家知道，數學有很多特點。比如做數學不需要很多設備，現在有電子郵件，要的資料很容易拿到。做數學是個人的學問，不像別的學科必須依賴於設備，大家爭分奪秒在一些最主要的方向上工作，在主流方向做出你自己的貢獻。而數學則不同。由於數學的方向很多，又是個人的學問，不一定大家都集中做主流數學。1943年，我在西南聯大教書，那年我應邀從昆明到普林斯頓高級研究所，該所靠近普林斯頓有一個小城叫新不倫瑞克，是新澤西州立大學所在地。我到普林斯頓不久，就在新不倫瑞克參加美國數學會的暑期年會。由於近，我也去聽聽演講，會會朋友。有一次我和一位在美國非常有地位的數學家聊天，他問我做什麼，我說微分幾何，他立刻說“It is dead(它已死了)”。這是1943年的事，但戰後的情形是微分幾何成了主流數學。

　　因此，我覺得做數學的人，有可能找到現在並非主流、但很有意義、將來很有希望的方向。主流方向上集中了世界上許多優秀人物，投入了大量的經費，你搶不過他們，趕不上，不如做其他同樣很有意義的工作。我希望中國數學在某些方面能夠生根，搞得特別好，具有自己的特色。這在歷史上也有先例。例如第二次世界大戰以前波蘭就搞邏輯、點集拓撲。他們根據一些簡單公設推出許多結論，成就不小。另外如芬蘭，在複變函數論上取得成功，一直到現在。例如在擬共形映照上的推廣一直在世界上領先。因為他們做的工作，別的國家不做，他們就擁有該領域內世界上最強的人物，我還可以舉出更多的例子。

　　最近一個時期最熱鬧的數學即當前的主流數學是什麼？剛才我說過我並不喜歡大家都去搞主流數學，不過主流數學畢竟是重要的。所謂主流數學，是指一個偉大的數學貢獻，深刻的定理，含義很廣，證明也很不簡單。如果在當前選一個這樣的貢獻，我想那就是阿蒂亞－辛格指數定理。阿蒂亞是英國皇家學會會長。他來過北京，還作過報告。這個指數定理可看成是上面所談問題的近代發展，即將代數方程、黎曼曲面、虧格理論等等從低維推廣到高維和無窮維。

　　因此，我覺得數學研究不但是很深很難很強，而且做到一定的地步仍然維持一個整體，到現在為止，數學沒有分裂為好幾塊，依舊是完整的。儘管現代數學的研究範圍在不斷擴大，有些觀念看來比較次要，慢慢就被丟掉了，但基本的觀念始終在維持着。

　　中國數學的根必須在中國現在我講21世紀的數學，也就是要講中國的數學該怎麼發展，如何使中國數學在21世紀占有若干方面的優勢。辦法說來很簡單，就是要培養人才，找有能力的人來做數學，找到優秀的年輕人在數學上獲得發展。具體一些講，就是要在國內辦夠世界水平的第一流的數學研究院。中國這麼大，不僅北京要有，別的地方也應該辦。

　　中國科學的根子必須在中國。中國科學技術在本土上生根，然後才能長上去。可是要請有能力的人來做數學很不容易。我從1984年開始組建南開數學所。開始想請有能力的人來工作就是了。可是由於種種原因，很難做到這一點。我們辦第一流的研究所就是要有第一流的數學家。有了第一流的數學家，房子破一點，設備差一點，書也找不到，研究所仍是第一流。不然的話，房子造得很漂亮，書很多，也有很貴的計算機，如果沒有人來做第一流的工作，又有什麼用處?我看到這種情形，就改變想法，努力訓練自己的年輕人，培養自己的數學家，送他們出國學習，到世界各地，請最好的數學家給予指導。我很高興地告訴大家，這些措施已經開始出現成效。比方說賀正需，他到美國加州大學聖地亞哥分校跟弗里德曼學。弗里德曼得過費爾茨獎，是年輕的領袖人物。他親自對我說，賀正需是他最好的學生。我還可以提到一些人，這裡不一一列舉了。

　　發展數學勢必要辦夠水平的研究院，怎樣才會夠水平呢?

　　第一，應當開一些基本的先進課程。學生來了，要給他們基本訓練，就要為他們開高水平的課。所謂的基本訓練有兩方面。一是培養推理能力，一個學生應該知道什麼是正確的推理，什麼是不正確的推理。你必須保證每步都正確。不能急於得結果就馬馬虎虎，最後一定出毛病。二是要知道一些數學，對整個數學有個判斷。從前是與分析有關的學科較重要，20世紀以來是代數，後來是拓撲學等等。總之，好的研究中心應該能開這些基本課程。

　　第二，我想必須要有好的學生。我們每年派去參加國際奧林匹克數學競賽的中學生都很不錯。雖然中學裡數學念得好將來不一定都研究數學，不過希望有一部分人搞數學，而且能有成就。我和在北京的一些數學競賽獲獎學生見面，談了話。我對他們說，搞數學的人將來會有大前途，十年、二十年之後，世界上一定會缺乏數學人才。現在的年輕人不願念數學，勢必造成人才短缺。學生不想念數學也難怪。因為數學很難，又沒有把握。苦讀多年之後，往往離成為數學家還很遠。同時，又有許多因素在爭奪數學家，例如計算機。做一個好的計算機軟件，需要很高的才能，很不容易。不過它與數學相比，需要的準備知識很少。搞數學的人不知要念多少書，好像一直念不完。這樣，有能力的人就轉到計算機領域去了。也有一些數學博士，畢業後到股票市場做生意。例如預測股票市場的變化，寫個計算機程序，以供決策。這樣做，雖然還是別人的雇員，並非自己當老闆，但這比大學教授的薪水高得多了。因此，數學人才的流失，是世界性的問題。

　　相比之下，中國的情況反而較為樂觀，因為中國的人才多，流失一些還可以再培養。流失的人如真能賺錢，發財之後會回來幫助蓋數學樓。總之，我們應取一個態度：中國變成一個輸送數學家的工廠，希望出去的人能回來，如果不回來，建議我們仍然繼續送。中國有的是人才，送出去一部分在世界上發揮影響也是值得的。

　　我們要做的事是花不多的錢，打好基礎，開出好的課。基礎搞得好了，至於出去的人回來不回來可以變得次要些。這是我的初步想法。比方說，參加國際奧林匹克數學競賽的人，數學都是很好的，如果他們進大學數學系，我建議立刻給獎學金。這點錢恐怕很有限，但效果很大，對別人也是一種鼓勵。中國的孩子比較聽家長、老師的話。孩子有數學才能，經過家長、老師一勸，他就念數學了。

　　對好的數學系學生來說，到國外去只是時間問題。你只要在國內把數學做好，出國很容易。國內做得很好的話，到了國外不必做研究生，可以直接當教授。中國已有條件產生第一流的數學家，大家要有信心。

　　培養學生我主張流動。19世紀的德國數學當然是世界第一。德國的大學生可以到任何大學去註冊。這學期在柏林聽魏爾斯特拉斯的課，下學期到格丁根聽施瓦茲的課，隨便流動。教授也可以流動。例如柏林大學已有普朗克、愛因斯坦，一個理論物理學家在柏林大學自然沒有發展的希望，就不妨到別的學校去創業。

　　我希望中國的學生、教授都能流動。教授可以到別的學校去教課，教上半年。各個數學研究院的教授也能互相交換。