在談到實驗之前，還得順便提一句，我們在此系列文章中，所談到的量子糾纏，以及推導貝爾不等式的過程，用的都是EPR佯謬的簡化波姆版。也就是說，我們使用了兩個不同的自旋（‘上↑’和‘下↓’）來表述量子態，這使得問題敘述起來簡化很多，因為在這種只有2個　散變量的情況下，單個粒子的量子態，只對應於2維的希爾伯特空間, 兩個粒子的糾纏態，只對應於4維的希爾伯特空間。在愛因斯坦等人的原始文章中，他們是用兩個粒子的位置及動量來描述粒子之間的‘糾纏’。使用EPR原文的那種方法，描述和推導都非常地複雜，因為位置或動量對應的是連續變量，即無窮維希爾伯特空間的情況。不過，在實際的物理理論和實驗中，兩種說法都會用到，分別被稱為∶‘　散變量’和‘連續變量’的糾纏態。我們在此簡要地說明了一下它們的區別，以使讀者今後在文獻中碰到這兩個詞彙時，能感覺更少一些的雲遮霧障。

在我們這篇文章中，為簡單起見，大多數時候都用自旋來描述量子態。回頭看看前面的幾節，我們已經用文字介紹了‘疊加態’和‘糾纏態’，恐怕現在應該是用點簡單的數學符號來重新整理這些概念的時候了。

我們用兩個不同的符號∶｜1＞和｜0＞，來表示兩個不同的量子態。比如說，剛才所提到的‘上’、‘下’這兩種不同的基本自旋態。

這兒的｜1＞和｜0＞是‘純態’。這個‘純’字，是相對於‘疊加’而言的。就是說，

一個粒子的‘疊加態’，可以寫成兩個‘純態’的線性混合疊加∶

｜疊加態＞ = a｜1＞ + b｜0＞          （8.1）

這兒的a、b是任意滿足（a**2+b**2=1）的實數，a**2和b**2代表測量時，測得粒子的狀態分別是｜1＞和｜0＞的幾率。

楊氏雙縫實驗中，電子或光子的位置疊加態可寫成∶

｜雙縫態＞ = a｜縫1＞ + b｜縫2＞

薛定諤的｜貓態＞ = a｜活貓＞ + b｜死貓＞

上述兩個例子中，狀態∶｜縫1＞、｜縫2＞、｜活貓＞、｜死貓＞，都是‘純態’。根�粕厦娴墓�式（8.1），可看出∶疊加態是普遍的大多數，而‘純態’只代表（a=1,b=0）或者(a=0,b=1)的少數極端情況。還可以看出，純態時的測量結果是確定的（幾率=1）。因此，‘純態’又叫做‘定態’。

純態是確定性的，只有疊加態才表現出量子力學‘既在這兒、又在那兒’的詭異特徵。現在，我們從簡單的數學表述，更為深刻地理解了本文第一節的一段話∶“疊加態的存在，是量子力學最大的奧秘，是量子現象給人以神秘感的根源，是我們了解量子力學的關鍵。”

那厶，使用剛才的符號，‘糾纏態’又應該如何表示呢？我們從最簡單的兩個粒子的糾纏說起。首先，現在有了兩個粒子A和B，它們分別都有（|1＞和｜0＞）兩種純態。因此，它們的單粒子純態可以組成4種雙粒子純態∶

｜1＞｜1＞、｜1＞｜0＞、｜0＞｜1＞、｜0＞｜0＞。

為簡單起見，將它們記為∶｜11＞、｜10＞、｜01＞、｜00＞。

類似於1個粒子的情形，這4種純態可以線性組合成許多混合疊加態。這些疊加態可以分成兩大類∶糾纏態和非糾纏態。如果一個雙粒子疊加態可以寫成各自粒子狀態的（張量）乘積的話，就是非糾纏態，比如下面是一個非糾纏態的例子∶

丨非糾纏態例子＞ = 丨00＞-丨01＞+丨10＞-丨11＞ =

(丨0＞+丨1＞)×(丨0＞-丨1＞)

因為它可以寫成第一個粒子的疊加態∶(丨0＞+丨1＞)，

和第二個粒子的疊加態∶(丨0＞-丨1＞)，之乘積形式。

提醒一下，在上面的幾個表達式中，我們略去了幾率歸一化的係數a,b（a**2+b**2=1）等，以後也都略去不寫。

現在，如果我們研究下面這幾種雙粒子疊加態∶

丨糾纏1＞ =丨01＞ -丨10＞                （8.2）

丨糾纏2＞ =丨01＞ +丨10＞                （8.3）

丨糾纏3＞ =丨11＞ -丨00＞                （8.4）

丨糾纏4＞ =丨11＞ +丨00＞                （8.5）

就會發現，它們無法表達成單個粒子狀態的乘積，也就是說，兩粒子的狀態糾纏在一起，不可分開。因此，薛定諤把這種多粒子的複合態命名為糾纏態。

除了前述的4種之外，還有很多種糾纏態。糾纏態是多粒子量子系統中的普遍形式。上面（8.2）-（8.5）所列的4種特殊糾纏態，被稱之為貝爾態。

回到薛定諤的貓的故事，實際上，薛定諤的貓態並不是簡單的死貓和活貓的疊加態，而應該寫成‘貓’和實驗中‘放射性原子’兩者的糾纏態∶

｜貓和原子糾纏態＞ = ｜活貓＞｜原子↑＞ + ｜死貓＞｜原子↓＞

我們再次重複量子論的解釋。上面表達式的意思是說∶薛定諤的貓與原子組成的兩體系統，處於兩個定態的混合∶

定態1 = 原子未衰變、活貓；

定態2 = 原子衰變了、死貓。

盒子打開之前，總狀態不確定，是定態1和定態2的混合。盒子打開，總狀態塌縮到兩個定態之一，幾率各半。

現在再回到貝爾不等式。大家還記得，在上一節中，我們是用經典概率方法導出這個不等式的。所以，經典孫悟空的行動一定會受限於這個不等式。量子孫悟空又如何呢？會不會遵循這個不等式？簡單的理論推導可以證明∶量子孫悟空的行為是違背貝爾不等式的。

EPR佯謬中對應的量子糾纏態可以用上面的貝爾態（8.2）來描述。它對應的是自旋單態粒子糾纏對。根�屏孔恿�學，如果在夾角為θ的兩個不同方向上對這個糾纏態的粒子進行觀測，理論預言的關聯函數平均值將會是（-cosθ）。這個結果的推導過程需要用到量子力學自旋的計算，在此不表。但是，我們可以利用這個結論，加上幾步簡單代數運算，來檢驗量子力學是否符合貝爾不等式。

從上一節得出的貝爾不等式∶|Pxz-Pzy|<= 1+Pxy，其中的x、y、z不一定需要腹成3維空間的正交系。比如說，可以取位於同一個平面上的三個方向，依次成60度的角。這樣就有∶

Pxz = Pxy = -cos（60度） = -1/2，

Pzy = -cos（120度） = 1/2，

代人貝爾不等式左邊，則為∶|-1/2-1/2| = 1，

代人貝爾不等式右邊，則為∶1-1/2 = 1/2，

因此，對量子力學的這種情況，貝爾不等式不成立。

剛才的例子說明量子理論已經違背了貝爾不等式，實驗結果又如何呢？儘管糾纏態是多粒子量子系統中的普遍形式，但是，要在實驗室中得到‘好’的糾纏態，可不是那厶容易的。有了糾纏度高、效率高，穩定可靠的糾纏態，才有可能在實驗室中來驗證我們在上一節中說到的貝爾不等式，作出愛因斯坦和量子力學誰對誰錯的判決。也才有可能將量子糾纏態實際應用到通訊和計算機工程技術中，實現我們在本系列文章中將要談到的‘量子傳輸’及‘量子計算機’等等，那些激動人心的高科技中的高科技。

上世紀的70年代早期，一個年輕人走進了哥倫比亞大學‘吳夫人’（美籍華人物理學家吳健雄）的實驗室，向吳夫人請教20多年前，她和薩科諾夫第一次觀察到糾纏光子對的情況，那是在正負電子湮滅時產生的一對高能光子。當時的吳夫人沒有太在意年輕學生提出的這個問題，只讓他和她的研究生卡斯蒂談了談。

這位年輕人名叫克勞瑟，出生於加里福利亞的物理世家，因為他的父親、叔叔、及家中幾個親戚都是物理學家，克勞瑟從小就聽家人們在一起探討爭論深奧的物理問題，後來，他進了加州理工大學，受費曼的影響很大，開始思考量子力學基本理論中的關鍵問題，他把一些想法和費曼討論，並告訴費曼說，他決定要用實驗來測試貝爾不等式和EPR佯謬。�扑�自己後來半開玩笑地描述當時費曼的激烈反應∶“費曼把我從他的辦公室里扔了出去！”

貝爾定理和貝爾不等式被譽為“物理學中最重要的進展”之一。之後，貝爾不等式被一個緊緊糾纏在一起的美國物理學家四人小組（CHSH）的工作所改良，稱為CHSH不等式。這四個人的名字是∶克勞瑟、霍恩、西摩尼、霍爾特。上面提到的克勞瑟是其中之一。

後來，克勞瑟及其合作者，果然成為CHSH-貝爾不等式實驗驗證的第一人。

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