請教一個簡單的數學問題。

1 = sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]= sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = -1

sqrt 代表開平方；i 代表虛數單位。

錯在哪兒呢？哪一步違反了運算規則？

聽說 sqrt[ (-1)*(-1) ]= sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = -1 出現在“物理評論快報”上。

*** 答案***

父母是老師的孩子們，不僅要用  “對”  或者 “不對” 來回答父母提出的作業問題，而是必須回答 “為什麼”。今天剛好遇到一群 “老鷹” 飛得比  “雞”  還低的機會，卑人在此獻醜，歡迎拍磚。

當進行開平方運算時，中學生就從實數域進入了複數域。在實數域，中學生所面對的是一維空間。可是一旦進入開平方運算，中學生就從實數域進入了複數域，他/她所面對的已經是二維空間。上面的問題錯就錯在用一維空間的實數數學來處理二維空間中的複數問題。

在複數域，exp(i*0)和exp(i*2*pi) 是兩個不同的複數，儘管它們 在實域的投影(即實分量)都是1，而虛分量都是0。 當進行開平方運算時，[exp(i*0)]^(1/2) =exp(i*0/2) = 1 + i*0, 而[exp(i*2*pi)]^(1/2) = exp(i*2*pi/2) = -1 + i*0。.

 sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]錯就錯在了：在實數域的一維空間中，把複數域中的兩個不同的複數exp{i*0}和exp{i*2*pi}混為一談了。 從複數域兩維空間的視野來看，只有exp{i*0}的開平方才等於1+i*0，而exp{i*2*pi}的開平方等於 -1 +i*0。儘管在一維空間的實數域裡sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1)]是成立的，但是在二維空間的複數域裡， exp{i*0}不等於exp{i*2*pi}，所以在複數域 sqrt(exp{i*0}) = sqrt(exp{i*2*pi})是不成立的，也就是說：從複數域的二維視野來看  sqrt(1) =  sqrt[ (-1)*(-1) ]是不成立的。既然在實數域裡sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1)]是成立的，為什麼不能用呢？因為開平方是複數域的工具，一旦使用這個工具，你必須從複數域的二維視野來觀察和判斷你的計算結果。

結論。

粗略地說，等式 1 = sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]= sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = -1 從 實數域的視野來看，

 它的正確性一直到 1 = sqrt(1) = sqrt[(-1)*(-1)]都是沒有問題的。問題在 sqrt[(-1)*(-1)] = sqrt(-1)*sqrt(-1) 時開始出現。 因為對-1開平方會出虛數，而虛數是複數域的東東，這時判斷等式 sqrt[(-1)*(-1)] = sqrt(-1)*sqrt(-1) 的對錯，你就要從複數域的視野來判斷。而一旦進入了複數域，你會立即發現，等式從sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]開始就出問題了。

 複數域比實數域多了一維，它大大開闊了人的視野，從二維空間的視野來觀察，分析和描述事物，會更加準確。現在，物理學家已經在超玄理論中用高於3維的空間概念來描述和分析物理現像，但願他們不要進入走火入魔的境界, 以至於把物理學墮落到無法用實驗來檢驗的哲學和宗教理論。