第二十一章﹕万变中的不变

 

倍周期分岔现象的另一个重要特性是普适性。

 

除了生物群体数的变化之外，倍周期分岔现象还存在于其它很多非线性系统中。系统的参数变化时，系统的状态数越来越多，返回某一状态的周期加倍又加倍，最后从有序走向混沌。比如物理学中原来认为最简单的单摆，也暗藏着混沌魔鬼，当外力加大时，新的频率分量不断出现，摆动周期不断地加长，最后过渡到混沌；由美国华裔学者蔡少棠首先研究的混沌电路是倍周期分岔的又一个例子；此外，在金融股票市场，以至于社会群体活动中，都有魔鬼的身影，也有伴随着的倍周期分岔现象。

 

到处都有倍周期分岔，以及接踵而至的混沌魔鬼，这是普适性的定性方面。普适性的另一个方面，定量方面，则与分岔的速度有关。

 

“分岔的速度？我注意到了，是越来越快的……”说话的是讨论小组中的一个年轻新面孔，看起来像是个十五、六岁的中学生，王二介绍说这是林灵的弟弟林童，今年计算机系从高一学生中破格录取的新生。林童看上去年轻，说话倒挺老练的，而且懂得的知识不少，确实是个小灵童。他指着图（20.4）上面那张倍周期分岔图给大家看。

 

图中显而易见，分岔的速度的确越来越快，相邻两个岔道口之间的距离越来越近。

 

“而且……”小灵童满脸通红，在这么十几个大哥哥大姐姐面前，说话时略显尴尬，欲言又止，不过，在林零眼神的鼓励下，他继续说下去，越说越流利：

 

“这个图……分岔的速度虽然越来越快，但增快时却似乎遵循某种规律，就有点像重力场中的自由落体。在中学物理课中学牛顿定律时，那儿有个g，叫做重力加速度。牛顿看见苹果掉下来，下落的速度越来越快、越来越快……但是，速度增加的比例却是相同的！也就是说，自由落体的速度变快了，但加速度g却是不变的。并且，g的数值对任何下落的物体都一样，它还与万有引力常数G有关。所以，我就觉得，这个看起来层层相似的分岔图中也可能有个什么不变的东西吧。后来，到网上一查，果然如此！原来在倍周期分岔图这儿也有两个普适常数，分别叫做d和a，发现它们的人是费根鲍姆……”

 

米切尔·费根鲍姆（Mitchell Jay Feigenbaum，1944-）是美国数学物理学家。父亲是波兰移民，母亲是乌克兰人。青少年时期的费根鲍姆默默无闻，也未曾表现出任何所谓天才或神童的气质。但是，他喜欢思考、迷恋物理。博士毕业后，因为找不到一个好的固定工作而四处奔波了好几年。后来，终于在30岁时就职于新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯国家实验室。洛斯阿拉莫斯实验室是美国两个研究核武器的主要实验室之一，二战时期的曼哈顿计划就在这儿进行。70年代，那儿养了一大堆的物理学家及别的相关学科的技术人员，工资不低，研究经费也不少，既没有教学任务，也没有要及时赶出成果发表论文的压力。费根鲍姆在那儿悠哉游哉地如鱼得水，尽管他当时在学术界还是一个无名小卒，只发表过一篇论文，科研成果寥寥无几，但在他的理论部同事中间却颇有声名。一是因为他脑袋中经常冒出一些古怪的想法，打扮也有些不合潮流，满头卷曲的披肩长发使他看起来像个古典音乐家。费根鲍姆出名的另外一个原因，是因为他的知识渊博，深思熟虑过很多问题，无形中已经成为了同行们有难题时的特别顾问。

 

他所在研究小组的课题是流体力学中的湍流现象，费根鲍姆需要研究的是：威尔逊的重整化群思想是否可以解决湍流这个世纪老难题。

 

开始时，费根鲍姆似乎并不十分钟情于研究小组的这个课题，不过，因为湍流看起来一片混乱，有些像那两年科学界人士热衷的“混沌”，这个研究方向使得费根鲍姆了解并熟悉了气象学家洛伦茨宣告的“蝴蝶效应”，以及逻辑斯蒂迭代时产生的混沌问题。

 

费根鲍姆对逻辑斯蒂方程的研究独立于罗伯特·梅。那年，他得了一个能放在口袋里的HP65计算器，一有空闲，他便一边散步、一边抽烟，不时地还把计算器拿出来编写几句程序，研究令他着迷的逻辑斯蒂倍周期分岔现象。

 

图（21.1）：费根鲍姆和他的HP-65计算器

 

现在看起来十分简易、当时售价为795美元的HP-65是惠普公司的第一台磁卡-可编程手持式计算器，用户可以利用它编写100多行的程序，还可将程序存储在卡上，对磁卡进行读写。这在上世纪70年代已经显得很了不得，因而，HP-65的绰号为“超级明星”。

 

当“超级明星”和美国宇航员一起登上阿波罗进入太空的时候，在新墨西哥州洛斯阿拉莫斯边远山区的费根鲍姆则用它来与逻辑斯蒂系统中的混沌魔鬼打交道，探索魔鬼出没的规律。费根鲍姆喜欢写点小程序，用计算来验证物理猜想。早在十几年前的大学时代，首次使用电脑时，他就在一小时之内写出了一个用牛顿法开方的程序。

 

这次，费根鲍姆感兴趣的是逻辑斯蒂分岔图中出现得越来越多的那些三岔路口。他用计算器编程序算出每个三岔路口的坐标，即k值和相应的x_无穷值。画在纸上，构成了图（21.2）中的左图。

 

图（21.2）：费根鲍姆常数

 

和林童一样，费根鲍姆也注意到了随着k的增大，三岔路口到来得越来越快，越来越密集。从第一个三岔口k₁开始：k₁=3，k₂=3.44948697, k₃=3.5440903, k₄=3.5644073，k₅=3.5687594……。仅仅从k的表面数值，费根鲍姆没有看出什么名堂，于是，他又算出相邻三岔路口间的距离d：

 

d₁ = k₂-k₁ = 0.4495...,

d₂ = k₃-k₂ = 0.0946...,

d₃ = k₄-k₃ = 0.0203...，

d₄ = k₅-k₄ = 0.00435...

 

从这些d之间，费根鲍姆好像看出点规律来啦！每次算出的下一个d，都大约是上一个d的五分之一！当然，并不是准确的五分之一，而是比例值差不多！好像有个什么常数在这儿作怪，多计算几项看看吧：

 

d₁/d₂ = 4.7514，

d₂/d₃ = 4.6562，

d₃/d₄ = 4.6683，

d₄/d₅ = 4.6686，

d₅/d₆ = 4.6692，

d₆/d₇ = 4.6694……

 

你们看，上面列出的这些比值都很接近，但又并不完全相同，两个相邻比值之间的差别却越来越小。费根鲍姆再计算下去，又多算了几项后，便只能得到一样的数值了，因为计算器的精度是有限的啊。于是，费根鲍姆便作了一个猜测，这个比值，(k_n-k_n-1)/(k_n+1-k_n)当n趋于无穷时，将收敛于一个极限值：

 

d = 4.669201609……

 

同时，费根鲍姆也注意到，分岔后的宽度w也是越变越小，见图（21.2）中所标示的w₁、w₂、w₃等等（这个宽度从x=0.5测量，图中的红线）。那么，它们的比值是否也符合某个规律呢？计算结果再次验证了费根鲍姆的想法，当n趋于无穷时，比值w_n/w_n+1将收敛于另一个极限值：

 

α= 2.502907875……

 

啊，原来这个分岔图中隐藏着两个常数！费根鲍姆深知物理常数对物理理论的重要，一个新概念、新理论的诞生往往伴随着新常数的出现，比如牛顿力学中的万有引力常数G，量子力学中的普朗克常数h，相对论中的光速c……诸如此类的例子太多了。新常数的发现也许能为新的革命性的物理理论打开新窗口。想到这儿，费根鲍姆欣喜若狂，立即打电话给他的父母，激动地告诉他们他发现了一些很不平凡的东西，他可能要一鸣惊人了。

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