杜车别 论数学的本质 2011-12-24 10:11阅读：2,871 数学的本质是什么？ 到了现代，当然没有人再会把数学当成是单纯是研究数量关系的学科了。但如果去看一些介绍数学的科普书籍或百科全书，发现其对数学的定义大多仍旧比较含混不清，诸如研究抽象结构，研究空间关系之类的说法仍旧显得过于空泛，并没有真正表达出数学的本质。 我认为数学的本质要素有三个：抽象、变换、推广。一切数学对象，一切数学流程都是建立在这三个要素的操作之上。抽象，抽象的抽象，抽象的抽象的抽象，抽象形成的对象的变换，变换的抽象，抽象对象的推广，变换的推广，推广的变换，诸如此类，等等。 数学中最基础的概念不是数，或点、线、面之类。而是集合与映射。一切数学分支，一切数学对象，本质上都建立在集合与映射的基础上，理解了这一点，你就理解了数学。 所谓抽象，当你把一些对象放在一个集合里，这就是抽象。（当然这只是粗略的简单说法，深入思考的话可以在此基础上给“抽象”下一个更严格的定义）。 当你把一个集合映射到一个集合，这就是变换。 当你抽取一个集合的子集，构成新的集合，也就是一些子集的集合，这就是推广。 当然，更严格的说基础概念不应该是集合与映射，而应该是类与映射，这是为了避免集合论导致的悖论。 如果一些类能成为类的元素，我们就把这样的类称为集合；如果一些类不能成为类的元素，那这样的类就称为本性类。 通过这样的区分，我们可以避免类似罗素悖论之类的悖论，原先罗素悖论说如果一个集合是所有不属于自己的集合构成的集合，那显然无论这个集合是否属于自己，都构成了悖论。而现在我们可以说所有不属于自己的集合构成的类是一个本性类。 不过为了方便起见，下面我们还是使用集合的概念。 我们不妨从小学算术说起，看最简单的小学算术基础上，如何能构建起整个现代数学的大厦。 首先从任何小学生都要学的自然数，也就是0、1、2、3、4、……说起。 自然数的本质是什么？自然数的本质就是集合 我们考虑一些对象组成的集合，这些集合的元素是一些猫也好，一些狗也好，一些人也好，一些沙子也好，一些凳子也好，一些糖果也好，或者一些抽象概念也好，如果一个集合A与另外一个集合B之间能够建立起一一对应的映射关系，我们就把这两个集合放到同一个集合里去，成为同一个集合里的元素，按照这种方式，所有的集合都会被分配到对应的不同集合中去。 按照以上的方式，所有属于同一个集合的集合之间，我们称之为等价，这个等价满足反身性（一个集合自己与自己等价），对称性（A如果和B等价，则B一定也和A等价），传递性（如果A和B等价，B和C等价，则A和C等价）。 按照以上方式，所有属于同一个集合的集合可以视为同一个对象，我们拿出其中的一个作为代表也可以，用一个符号来表示它们也可以，通过这样的一个操作，实际上我们就得出了自然数的概念（严格说是比包含自然数在内的更广义的数的概念，比如所有自然数的集合对应的数是阿列夫0，直线上的点构成的集合对应的数是2的阿列夫0次方，二维空间中的点，乃至无穷维空间中的点和可以和一维空间中的点建立一一对应，因此对应的数也都是2的阿列夫0次方）。 所以自然数的本质是集合，0表示的是空集，1表示的是所有能和一根手指建立对应关系的集合，2是所有能和两个手指建立一一对应关系的集合。 而且通过以上定义的等价关系，我们也有了无限和有限的定义，所谓有限是那些子集不能等价于母集的集合（部分不能等价于整体），无限是子集能等价于母集的的集合（部分能等价于整体） 我们来看一下能够对自然数做什么？ 首先我们能在自然数之间建立序的关系，比如k、n都是自然数，如果k代表的集合元素，能够和n代表的集合的真子集元素一一映射，就定义为kn 如果k代表的集合，能够和n代表的集合本身建立一一对应的关系,那就是k=n. 我们可以看到任何两个自然数之间都可以存在这种序的关系,或者小于,或者大于,或者等于,并且所有这些关系都满足传递性,所以自然数是一个全序的集合。 有了全序的概念，我们就可以接着定义稠密或稀疏的概念，我们可以看到并不是任意两个自然数之间都存在第三个自然数夹在它们两个当中，所以自然数不是稠密的。 那么能否构造一个数学对象的全序集，使得这个集合中任意两个元素之间，都能有同属一个集合的第三个元素，夹在它们当中呢？从而使这个全序集是稠密的 这时候就需要“推广”出场了。 但在推广出场之前，我们先让变换出场。 对自然数最基础的变换就是加法，加法的实质不过是我们给出任意两个自然数，我们都能让其对应到第三个自然数。更具体点，我们可以把加法定义为了，两个数所代表的互不相交的集合进行并集的操作，形成的并集的等价类。 可以验证自然数范围内的加法满足封闭性、结合律、交换律。 我们可以把加法推广到乘法，乘法就是一个数不断对自身进行迭代的加法操作。自然数范围内的乘法同样满足封闭性、结合律、交换律。 并且乘法和加法满足分配律 有了了加法和乘法，我们就可以把自然数推广到一个稠密的全序集 我们先定义，自然数集合到自然数集合的映射，称为一个函数，比如f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,……，这f就是一个函数，函数有定义域和值域。也就是通过映射f,集合A内的元素被变换到了集合B内的元素，这个集合A就是f的定义域，B就是值域。 如果f的定义域是集合{1，2}，值域是自然数集。所有满足这个条件的函数构成的一个集合，再在其上的元素之间建立等价关系，在其等价类之间建立大于和小于关系，那就构成了一个稠密的全序集 事实上这种函数的本质就是一个有序自然数对，任何一个这样的函数都可以用一个有序对来表示（k,n) 也即f(1)=k,f(2)=n,或者也等价于一个集合的集合{{k},{k,n}},所有这种有序对(或定义域为自然数的函数,这是同一个对象的不同叫法)组成的集合(集合的集合的集合),记为N×N 然后我们在N×N之上建立等价关系R，如果有两个有序的自然数对，（k1,n1）,(k2,n2),其中n1、n2都不等于0 并且k1×n2=n1×k2，则记（k1,n1)R(k2,n2),可以验证这个等价关系满足反身性，对称性，传递性 用类似的方式可以定义（k1,n1)小于或大于(k2,n2)。 然后可以定义N×N之上的加法和乘法运算，（k1,n1)+(k2,n2)=（k1×n2+n1×k2，n1×n2）；（k1,n1)×(k2,n2)=（k1×k2,n1×n2）。 同样可以验证其满足结合律、交换律、分配律 并且原先等价的对象，进行这些运算之后形成的对象之间仍旧等价 这样N×N之上所有按以上定义的等价类构成了一个全序集，记为（N×N）/R,并且这个全序集是稠密的，也就是任何两个不同元素之间，都必定有第三个元素夹杂在它们之间 实际上，按以上方式定义后得到的数学对象，就是小学生都会学习的正有理数，而有理数的本质恰恰就是自然数有序对构成的等价类集合，也就是有理数的本质是集合的集合的集合的集合。 而有理数也可以通过用另一种方式来推广得到，就是乘法推广，得到乘法的逆运算除法，而有理数可以看成是除法生成的数学对象。 有了有理数，是不是推广就终止了呢？ 我们看到有理数虽然是稠密的，但是有理数却并不连续，有理数是无法和一条连续的直线段上的点建立一一对应的关系的，它不是一个连续统 从直接的乘法运算的推广，也就是乘幂运算中，我们也可以发现有理数的不连续性 最简单的，我们把有理数分成两部分 一部分的有理数满足x的平方>2 另一部分的有理数满足x的平方<2 这样一来，所有的有理数实际上被分割到了两个集合之内，并且一个集合的所有有理数小于另一个集合内所有有理数（注意，任何一个有理数的平方都不可能等于2） 这两个集合包括了所有的有理数，但是下端的集合没有上界，上端的集合没有下界 这种情况，我们就可以称为不连续的。 那么我们怎么样才能得一个全序集，这个全序集是连续的呢，也就是所有这个全序集的分割形成的两个集合，要么下端的集合有上界，要么下端的集合有上界，而不可能出现第三种情况。 其办法就是把所有有理数的分割本身当成集合的元素，一个分割就是一个数学对象，在这个分割之间，建立序的关系，也就是大于小于等于的关系，分割构成的集合，其部分子集可以和原来的有理数一一对应，这也意味着原来的有理数被包括了这个新的数学对象的范围之内。这新的数学对象，我们就称为实数 而有理数分割的本质，其实就是有理数子集构成的对，所以实数的本质又是有理数的集合构成的集合。 推广到这里，我们就从自然数到了有理数，到了正实数，有了实数，我们就可以把数和直线上的点一一对应，进而实数对可以和面上的点一一对应，这样就从数的范围，进入了解析几何的范围 但从有理数推广到实数，也就是把那些不能包括在有理数范围内的数，我们称为无理数的对象添加到有理数集合上的结果。而对无理数最初的认识就是从乘方运算，开方运算得到的 那是否开方运算就能产生所有的无理数呢？ 答案是否定的。也就是在有理数和实数之间，其实还有一个集合，它是大于有理数的范围，但小于实数的范围 这就是代数数。 我们把如下形式的称为多项式方程 an×x的n次方+a(n-1)×x的n-1次方+……+a1×x+a0=0 如果x的幂次所有系数都是整数 那么满足这样整系数多项式方程的所有数就称为代数数，不能满足就称为超越数 那也就是说所有有理数都必然是代数数，它们是一次代数数，而类似根号2这样的无理数就是二次代数数，依次类推 可以证明虽然代数数包含有理数包含自然数，但代数数的个数其实和自然数是一样多的，也就是代数数可以和自然数一一对应，实际上所有用来表达整系数多项式的符号是一个有限的数字，比如16，那一个整系数多项式就和一个16进制的数建立了一一对应，而每个整系数多项式的解都必然是有限个，而可以证明阿列夫0的平方仍旧是阿列夫0，通过这样的方式，我们就可以证明代数数可以和自然数一一对应 实数是代数数的集合并上超越数的集合形成的数集 而多项式的概念，又如何从小学算术里得到呢？ 实际上任何十进制数的记法，本身就可以看成一个代入具体值的多项式 如4781=4×10的立方+7×10的平方+8×10+1 我们对这样的十进制数做抽象化处理，也就是把10看成可以换成任意一个其他的自然数，那这就是一个整系数的多项式，如果再去掉每一位的数字都必须小于10的自然数的限制，那就推广到了任意整系数多项式，如果保留系数必须小于x的限制，那就是从十进制推广到了其他进制 另一方面，从十进制数也可以推广出模和余数的概念，在十进制的记数法中，模就是十，任何一个自然数字都可以看成是十的整数倍加一个不能被十整除的余数，记为n≡r(mod 10)，如果n1减去n2是10的整数倍，那就称n1和n2按照模10成立同余关系，记为n1≡n2(mod 10)。（其实这里可以不涉及到减法而直接定义同余关系）。我们可以证明同余关系是一种等价关系，也就是满足反身性，对称性和传递性 把其中的模10换成任何其他的自然数，就得出了一般的同余关系，比如一般时间按照小时来算是以12为模（也可以用24做模），角度是以360为模 由于同余关系是一种等价关系，我们就可以把所有自然数按照某个确定的模分割成彼此互不相交的集合，每个同属于一个集合的自然数可以看成是彼此等价，也就是属于一个等价类，并用一个符号来代表它们，这样按照同余关系形成的等价类作为元素组成的集合，就形成了一个新的数学对象，这个数学对象，也可以定义加法，乘法运算。如果模为m,这个数学对象的集合，我们可以记为Zm 我们注意到和自然数不同，Zm中的元素都是有限个，其中任何两个元素相加后的结果必然仍旧属于这个有限集合，并且其中的元素按照不但满足加法的结合律，每个元素按照加法都有自己的逆元素 （注意到我们前面没有引入负数的概念，按照这里，我们或可把负数定义为按一个元素在每个模下的等价类下逆等价类，按照模的次序形成的无穷有序列，这样负数也可以定义成集合的集合的集合……，以符合我们开头对推广下的说明） 另外到了这里，我们就可以直接在小学算术的范围内引入群、环、域的概念 我们把自然数抽象掉，自然数涉及的加法，乘法抽象掉，代之以更一般的集合概念，以及运算概念，结果就可以引入群论，环论，域论 比如群论来说 当一个集合，和定义在这个集合上的二元运算（变换）满足如下四条性质的时候 我们就可以称这个集合为一个群 第一条是封闭律，也就是任何属于集合元素，经过运算之后，仍旧属于这个集合 第二条是结合律，参见加法的结合律 第三条是集合内有幺元，也就是任何元素和幺元运算后的结果都是元素本身 第四条是任何元素在集合内都有逆元，也就是元素和自己的逆元运算后的结果是幺元 如果运算还满足交换律，那就是一个阿贝尔群，也就是交换群 显然对任何m>0,Zm按照加法都构成了一个群，如果m为素数，则去掉零元后的集合对乘法也构成一个群 把负数包括进去，那整数对加法构成了一个群，对乘法构成了一个幺半群 所以群论实际上是可以在小学算术的范围内就引进来的 有了群的概念，就可以引入子群的概念，也就是群的子集本身构成一个群，有了子群的概念，就可以有子群在母群中的指数的概念 而注意，这时候可以对定义整数范围内的同余关系进行更进一步的抽象，而这种抽象实质上又能把同余关系推广到更一般的群上 整数范围内的同余关系是两个整数相减后的结果如果是某个整数m的整数倍，我们就称这两个整数按照模m的同余 是一种等价关系。而某个整数m的任意整数倍形成的整数集合，实际上就是整数这个群的一个子群 所以同余关系的实质就是一个整数和另一个整数的逆元素运算后的结果属于整数的子群，那么这个两个整数之间就建立了一个等价关系 现在把整数也抽象掉，代之以任何群的元素，也就等到同余关系的推广 任何一个群，如果它的一个元素和另一个元素的逆运算后得到元素，属于某个子群，就称这两个元素以这个子群为模建立了同余关系，如果不是交换群，那还可以区分左同余和右同余，左同余和右同余相等的，对应的模就是正规子群，一个群如果没有的真的正规子群，那就是单群 最简单的排列问题，比如一副牌的顺序变换，把所有可能的变换放在一个集合理，那就构成了一个群，然后定义偶置换，奇置换，所有偶置换构成的集合是交错群，所有的交错群里，只有四个位置排列的群的交错群不是单群，其他都是单群。 而正规子群，单群等概念又和五次以上方程无一般根号解有密切关系 群论在现代物理学上有广泛应用，而它本身却不过是一个相当简单的概念，其基本概念可以从小学算术的概念进行推广而得到，而这种推广本身又是抽象、推广和变换的交织， 初等数论中同余的概念被推广了，模的概念也被推广了，其实按照这种方式，类似偶数，奇数，质数也可以被推广成更一般的概念（也即更高程度的抽象），可以建立广义质数的概念，类似哥德巴赫猜想之类问题的解决或许要依赖于这类性质的概念推广，在更抽象的层面上，用更一般的方式解决。 类似的，我们还可以据举一个抽象、变换、推广的例子 比如一个有序对（x,y）,我们已经说了可以和一个定义域为自然数有限集合的函数看成是等价的 这本质上建立了坐标和函数之间的等价关系 一个二维坐标也就是一个二维空间中的点可以看成是一个定义域为{1,2}的函数，一个三维空间中的点可以看成是一个定义域为{1,2,3}的函数 一个无穷维空间中的点，可以看成是一个定义域为整个自然数集合的函数 那由此我们可以想到，以上的维数坐标实际上都是离散的，无论二维，三维，无穷维，它们都是离散的维数 但连续的维数空间，又应该如何，这时候，就不可能再有以上的那种坐标表示方式，而只能表示成一个函数，这个函数的定义域就是实数域 通过这种方式，任意的函数实际上都对应于某个空间中的点，如果函数的定义域是离散的集合，那个空间的维数就是离散的，比如二维空间，三维空间，乃至无穷维空间 而定义域为连续的集合，比如实数域，所有这样的函数所组成的空间，其维数就是连续维 而一个空间，按照数学可以定义距离，从而形成一个距离空间，距离的实质就是两个点，映射到一个实数，这种运算满足三角不等式等等性质，然后就是一个距离空间，比如二维欧氏空间中的两个点距离就是（x1-x2)的平方+（y1-y2)的平方，然后再开根号 那连续维的空间，当然也可以定义其中的距离，一个函数就是其中的一个点，两个点之间的距离就是函数之间的距离，不过这时候的距离计算，就要用到积分 同样原本离散维数空间中的一些概念，欧氏空间中的一些概念，可以推广到连续维数的空间中去，形成一些定理 而我以上所说的这些东西，其实就是泛函的实质，只不过一般泛函分析的教科书可能并不是从这个角度上去引入概念的而已，但其实质内容是完全一样的 从这个意义上说，一些泛函分析的内容同样是可以对只有小学算术，平面坐标概念知识的人引入的 再如数理逻辑，按照上面介绍的全序集，半序集的概念，如果一个命题A可以推出命题B,则称A>B,反之就是小于，同时满足大于和小于关系的命题就是等价命题。由于并不是任何两个命题之间建立这种序的关系，所以所有命题组成的集合，只能是一个半序集。一组命题集合，其上界就是公理，公理就是无法从其他命题推出的命题 同样也可以在概念组成的集合上建立这种序的关系，如果一个概念A用另一个B来定义，就称概念A小于概念B,按照佐恩引理，一个半序集的任何非空全序子集都有上界，则该半序集一定有极大元，则所有概念组成的半序集，也必定有极大元，也就是最初始的无定义概念。 我们还可以建立概念的运算，命题的运算等等，也就是把应用于其他数学对象上的抽象、变换、推广应用到概念和命题上去，由此就会形成数理逻辑。 无一例外，任何现代数学的分支本身都可以从原初一些更简单的概念中通过抽象、推广、变换而得到 图论、对策论、概率论、拓扑、微分几何、代数几何、动力系统等等无非如此 这种抽象，变换和推广可以无限迭代，重复下去，抽象再抽象，推广再推广，变换再变换。 我们也可以数学定义为抽象、变换、推广生成的一个群。 而任何现实事件中的对象，按照以上流程处理，都能转变为数学对象。 其实小学数学里完全可以把现代数学里的一些基本概念，基本思想引入，比如介绍了整数和一些初等数论知识，就可以介绍群域格环，微积分之类也可以直接进入初中课程，微积分运算本身其实不过是建立在一些简单变换规则的记忆基础之上，比如求导的规则，求原函数的规则，而这些规则的记忆并不会比记忆九九乘法表和加法表更繁难。至于严格的数学基础，比如实数论基础，极限思想，函数连续乃至可微的定义等等则也可以通过简单的抽象，推广的方式加以介绍。 一个人到中学毕业，就应该掌握现代数学里的基本概念，熟练掌握微积分，群论，以及包括广义相对论，量子力学在内的基本知识。理解其思想实质。一个现代人，如果不能掌握这些知识，就可以定义为文盲 如果一个教育系统能实现这样的目标，那就是一个合格的现代教育系统，但遗憾的是目前世界任何一个教育系统都达不到合格的标准，不必论中学，甚至大学和研究生教育都不能，从这个意义上，绝大部分人都是文盲。 总结以上所说 数学本质就是抽象、变换、推广生成的群 打个比方，就是抽象为灵魂，变换为血肉，推广为筋骨 任何数学活动，都无非是抽象的过程，变换的过程，推广的过程 计算是变换，定理的证明是变换 而赖以变换的对象，赖以变换的根据，又是在抽象的基础上，推广的基础上形成的。 数学能力本质上是抽象的能力，变换的能力，推广的能力 而这种能力又必须通过严格的训练，才能得以实现 而遗憾的是目前国内的任何学校体系的数学教育，都无法提供这样的训练 数学能力的训练本质上和肌肉的训练是一样，只有遵循确定的，科学的，有序的步骤才能得以提高。 只是一味沉浸在初等数学，高中数学范围内进行题海战术，做大量的难题，固然无法真正实现数学能力的提高。做再多的题目都不知道现代数学为何物。 而只是按照顺序把初等数学到高等数学，现代数学的一些内容填鸭式的记忆，也无法真正实现数学能力的提高。填再多的知识，都不能真正明了其思想精髓。 只有把题目的训练，和知识等级的提升，按照一定适当的比例，按照一定的步骤进行，才可能有数学能力的提高。 现在的大学数学系本质上不提供任何等级的数学训练，这种教育只能是失败的教育了，中国数学水平总体的低下也就是必然的。 而中国文明要真正崛起，脱离数学的进步是不可能的。一个在数学上是二流乃至三流四流的国家，它在现代文明里也只能是二三流的国家。 不仅如此，一些哲学问题，政治问题，经济问题，乃至历史问题，要进入更深层次的研究，也必须把相应的概念上升到数学概念的层次上。 比如民主的概念，自由的概念，存在的概念，其实都是可以数学化的，而只有把这些概念数学化了，对这些问题的讨论也才能有真正实质的意义。 包括经济上的问题，华罗庚的计划经济全局最优化，其实还是把相应的问题做了一个最简单的数学抽象，离开真正有实际意义的地步还是相差很远的。而他做的抽象，其实也可以看出涉及的问题也是市场经济的基本问题。脱了数学，对这些经济问题要有本质的理解是不可能的。 但另一方面，问题的棘手在于，最简单的问题，在数学上也可以呈现无限的复杂性，就如一个简单排列问题，对应数学上的是有限群论，其涉及的复杂性恐怕就让人望而却步了。一个简单的非线性迭代，非线性偏微分方程都会呈现令人头疼的复杂性 （由于上网不便，以上是一个简单的草稿）