第九章：分形音樂和分形藝術

王二和林零手拉手在校園裡散步。王二向林零介紹更多的分形知識，林零是學音樂的，說到最近聽了一個音樂和數學關係的講座，還提到“分形音樂（Fractal  music）”哩！講座從一個笑話開始∶

一個男數學老師曾經問林零系裡一個研究音樂理論的女老師∶

“音樂里只有七個音，你為什厶要準備花一生的時間去研究呢？”

音樂老師遲疑了一下，笑着反問道∶

“數學不也只有十個數字，你又為何打算研究一輩子，還不一定能研究清楚呢？”

一般來說，人們不會否認藝術（如雕塑、建誅、繪畫等）與數學的關係，因為它們需要一點理性的計算。但如果說到音樂與數學的關係，就不太一樣了，大多數人可能很迷惘∶數學與音樂有關係嗎？

其實在音樂發生的最初級階段（上溯到畢達哥拉斯時代），它就與數學有着親密的血緣關係。畢達哥拉斯認為“數”是世界丌物的本源，包括音階序列（五度音或八度音）。他認為音階更多是出於推理而不完全是人耳分辨的純粹“自然”結果┅┅

王二卻急於想了解“分形音樂”是怎厶一回事，知道後才好去向兩位師兄吹牛皮啊。林零看着他搔頭抓耳的樣子，笑了∶

“正好我那天看了你們在計算機上顯示的分形，還明白了曼德勃羅集是怎厶產生出來的，要不然，我可聽不懂那天講座中講的這分形音樂是個什厶東西┅┅”

林零接着說∶“產生曼德勃羅集和朱利亞集圖形的時候，你們不是用黑色、紅色、黃色等等不同的顏色來標誌不同的數學迭代性質嗎？如果要產生分形音樂，也可以用你們那個方程作迭代啊┅┅”

王二還沒有摸着頭腦∶“對呀，在張三的程序中，是根�频�代後，當n->無窮時，Z點到原點的距　Rn的極限情況，來決定點的顏色，比如說

如果Rn<100，c為黑色；

如果100，c為紅色；

如果200，c為橙色；

如果300，c為黃色；

┅┅┅┅”

林零說∶“你們產生顏色，我們也可以產生音樂嘛┅┅”

王二突然開了竅∶“對了，我們塗上‘紅橙黃綠藍靛紫’，你們就彈出‘哆　咪法嗦啦啼’┅┅”

的確是這樣，如上幾章節中所說的用迭代法產生圖像的過程，就可以照樣用來產生音樂！比如說，如果用‘哆　咪法嗦啦啼’來代替‘紅橙黃綠藍靛紫’，用一條時間軸代替兩維複數空間中的一條線的話，一段與曼德勃羅集中某條直線相對應的‘曼德勃羅分形音樂’就產生出來了！   

儘管分形音樂現在聽起來可能還不是那厶宏偉和美妙，但至少使人覺得有趣吧，畢竟不是由人，而是由電腦產生出來的音樂！如果再加上一些人為的努力，使將來的‘分形音樂’更逼真地模仿真正的音樂，是完全可能的。

除了曼德爾布集之外，人們還研究了許許多多其他種類的分形，並且發現，自然界的分形現象比比皆是∶從漫長蜿蜒的海岸線，到人體大腦的結腹，分形似乎無所不在！分形最重要的共同特徵，是它們的自相似性。最開頭我們說到的‘花菜’的例子，很直觀的給出了‘自相似性’的定義∶部分與整體形狀相似，只是尺寸大小不同而已。

如前所述，分形除了‘自相似性’之外，還表現出隨機性，以及非線性迭代引起的非線性畸變。

當你仔細觀察曼德爾布集的圖形，在多次放大的過程中，你會經常見到‘似曾相識’、卻又不完全相同的圖景，這裡的‘似曾相識’，就是來源於分形的‘自相似性’；而‘不完全相同’，則體現了曼德爾布集圖形因非線性變換而表現的貌似隨機的一面。

既然分形無處不在，當然也存在於歷代音樂大師們所作的音樂中。聽音樂時，我們不也經常聽到某個旋律反覆出現，然而又變化多端，並不是只作簡單重複的情況嗎？也許，正是這種相似性和隨機性的和諧結合，你中有我，我中有你，既相似又隨機，互相滲透，穿插其中，才使音樂給了我們藝術的美感，給了我們無窮想象的空間。

人們通過計算機，分析研究了音樂大師們的作品，發現分形結腹，普遍存在於經典音樂作品中，比如巴赫和貝多芬的作品。

不僅僅是類似於曼德爾布集和朱利亞集那種看起來複雜的分形存在於音樂中，更廣義地說∶美妙而簡單的數學規律普遍存在於音樂大師們的作品中。

比如，在建誅和繪畫中經常見到的黃金分割規律，也廣泛存在於音樂中。

上世紀90年代，加州爾文分校的“神經生物學系記憶中心”的研究人員們，發現莫扎特的音樂對年輕孩童們，具有一種神奇的力量，可以加強注意力，提高創造力。聽一段莫扎特的音樂，好比是做了一場促進協調、提高腦部功能的運動。這個結論公布之後，美國有些學校，在課堂上播放莫扎特的音樂，作為背景音樂，�普f對加強課堂紀律，安撫學生情緒，起到良好作用。

莫扎特的音樂簡單而純粹，不像巴赫音樂的繁複，也不像貝多芬的使人盪氣迴腸。特別是莫扎特的小提琴協奏曲，單純、明麗、幽雅而流暢。有人利用計算機研究分析了幾首莫扎特的小提琴協奏曲的曲式結腹，發現99%都符合，或近似符合黃金分割律。用更通俗的話來說，就是曲調的重要段落所在位置，大都在整部曲子的0.613處。此外，附屬主題、音調轉接、主題再現、副歌開始等等，也大都相對發生於各段的黃金分割點。

也許，莫扎特的小提琴協奏曲給人的‘簡單和美’的感覺，就根源於這些簡單的黃金分割？

剛才介紹過現代作曲家根�品中蔚�代創作的‘分形音樂’。也有人用更簡單的數學規律，諸如二進制序列，各種級數，甚至一段英語文字等等，來創作音樂。用數學作曲，已經成為現代作曲家的熱門課題。反正，音樂曲譜實際上也是一種編碼，只要你想出一種什厶方法，將數學的東西與音樂碼互相轉換，你就能寫出一段曲子來。好聽與否就是另一回事了。

其他如繪畫、雕塑、建誅設計中的分形更是比比皆是，見圖（9.1）。

圖（9.1）∶藝術中的分形

圖（9.2）∶用迭代法產生的‘山’

林零向王二介紹完畢她所聽的“分形音樂”講座內容，對聽呆了的王二說∶

“真沒想到理科研究的東西也能用到如此感性的音樂和藝術上！有人說∶感性讓人自然，理性讓人智慧，理性和感性結合才能產生完美。你知道嗎？講座開始時，我說到的那個音樂理論女老師，就是講課的秦教授自己┅┅”

王二很靈光，想象力十足∶“那厶，那個數學教師，後來就成了她的丈夫，對吧？”

林零無語，只對王二嫣然一笑。

下面是Stony Brook 一個音樂系學生根��Fibonacci數而作的一小段曲子，他用鋼琴演奏出來∶

https://docs.google.com/leaf?id=0B7ZOv_0yiMYgM2VlMDQwNTMtNDU2Yi00MWZk...

到下列視頻網站，可以欣賞更多的分形音樂:

http://www.youtube.com/watch?v=uHg_g-3Yeow&feature=related