请教一个简单的数学问题。

1 = sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]= sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = -1

sqrt 代表开平方；i 代表虚数单位。

错在哪儿呢？哪一步违反了运算规则？

听说 sqrt[ (-1)*(-1) ]= sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = -1 出现在“物理评论快报”上。

*** 答案***

父母是老师的孩子们，不仅要用  “对”  或者 “不对” 来回答父母提出的作业问题，而是必须回答 “为什么”。今天刚好遇到一群 “老鹰” 飞得比  “鸡”  还低的机会，卑人在此献丑，欢迎拍砖。

当进行开平方运算时，中学生就从实数域进入了复数域。在实数域，中学生所面对的是一维空间。可是一旦进入开平方运算，中学生就从实数域进入了复数域，他/她所面对的已经是二维空间。上面的问题错就错在用一维空间的实数数学来处理二维空间中的复数问题。

在复数域，exp(i*0)和exp(i*2*pi) 是两个不同的复数，尽管它们 在实域的投影(即实分量)都是1，而虚分量都是0。 当进行开平方运算时，[exp(i*0)]^(1/2) =exp(i*0/2) = 1 + i*0, 而[exp(i*2*pi)]^(1/2) = exp(i*2*pi/2) = -1 + i*0。.

 sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]错就错在了：在实数域的一维空间中，把复数域中的两个不同的复数exp{i*0}和exp{i*2*pi}混为一谈了。 从复数域两维空间的视野来看，只有exp{i*0}的开平方才等于1+i*0，而exp{i*2*pi}的开平方等于 -1 +i*0。尽管在一维空间的实数域里sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1)]是成立的，但是在二维空间的复数域里， exp{i*0}不等于exp{i*2*pi}，所以在复数域 sqrt(exp{i*0}) = sqrt(exp{i*2*pi})是不成立的，也就是说：从复数域的二维视野来看  sqrt(1) =  sqrt[ (-1)*(-1) ]是不成立的。既然在实数域里sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1)]是成立的，为什么不能用呢？因为开平方是复数域的工具，一旦使用这个工具，你必须从复数域的二维视野来观察和判断你的计算结果。

结论。

粗略地说，等式 1 = sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]= sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = -1 从 实数域的视野来看，

 它的正确性一直到 1 = sqrt(1) = sqrt[(-1)*(-1)]都是没有问题的。问题在 sqrt[(-1)*(-1)] = sqrt(-1)*sqrt(-1) 时开始出现。 因为对-1开平方会出虚数，而虚数是复数域的东东，这时判断等式 sqrt[(-1)*(-1)] = sqrt(-1)*sqrt(-1) 的对错，你就要从复数域的视野来判断。而一旦进入了复数域，你会立即发现，等式从sqrt(1) = sqrt[ (-1)*(-1) ]开始就出问题了。

 复数域比实数域多了一维，它大大开阔了人的视野，从二维空间的视野来观察，分析和描述事物，会更加准确。现在，物理学家已经在超玄理论中用高于3维的空间概念来描述和分析物理现像，但愿他们不要进入走火入魔的境界, 以至于把物理学堕落到无法用实验来检验的哲学和宗教理论。