| 试解:1^4+2^4+3^4+...+n^4=? |
| 送交者: tda 2014月06月13日11:13:58 于 [灵机一动] 发送悄悄话 |
| 回 答: 欢迎试解n=4 由 新见 于 2014-06-12 19:54:25 |
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1^4+2^4+3^4+...+n^4=?
试解: (k+1)^5 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 (1) 对(1)，从k = 1 到 k = n 求和，得到 (n+1)^5 = (n+1) + 5(1^4+2^4+...+n^4) + 10(1^3+2^3+...+n^3) + 10(1^2+2^2+...+n^2) + 5(1+2+...+n) 5S = (n+1)^5 - (n+1) - 5n^2(n+1)^2/2 - 5n(n+1)(2n+1)/3 - 5n(n+1)/2 5S = (n+1)[(n+1)^4 - 1 - 5n^2(n+1)/2 - 5n(2n+1)/3 - 5n/2] 整理后得 5S = n(n+1)[6n^3 + 9n^2 + n - 1]/6 5S = n(n+1)(2n+1)[3n^2 + 3n - 1]/6 S = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30 |
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