列出方程：

a*6^4+b*5^4+c*4^4+d*3^4+e*2^4+f*1^4=1599  （1）

若等式成立，则左右两边的奇偶性需一致，即都是奇数，亦即被2除的余数是1.

故右边除去6、4和2的4次方，不会影响（1）的奇偶性，即（1）简化为

b*5^4+d*3^4+f*1^4=1599 ≡1(mod 2)

移项，可成

b*5^4+d*3^4 = 1599 - f*1^4  (2)

显然，（2）的两边都是偶数。

故b仅取1即可，因为b=2，2*5^4=1250是偶数。

左边考虑(5^4,3^4)的个数：(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(1,11).(1,13)七种。

类似，右边也是七种偶数：f=1,3,5,7,9,11,13。

显然，(2)在此七种情况下都不会成立！

命题得证。