證明“兩個實數之間必定還有一個實數”

這個問題要從實數的定義問題談起(先談正實數)。長話短說，假定有理數的
定義已經有了。有理數是一個整數和一個非零整數的比。

如果兩個整數相除得到一個不以9為循環節的無限小數，這無限小數在某位截斷，
就得到了這兩個整數相除所表達的有理數的不足近似值。在不足近似值的末位
加1就得這個有理數的盈餘近似值。如果兩個整數相除得到一個以9為循環節的
無限小數，這無限小數在某位截斷，就得到了這兩個整數相除所表達的有理數的
不足近似值。假設有理數的運算規則已經定義。

不能用兩個整數之比精確表達的，且能與有理數比較大小的數被稱作無理數。

對任何不能由兩個整數相除所產生的無限小數,在某位截斷，就得到了這無限小
數的不足近似值。在不足近似值的末位加1就得這個無限小數的盈餘近似值。

我們提出一個公理：任何不是由兩個整數相除所產生的無限小數，其不足近似
值和盈餘近都夾一個唯一的無理數。這個無限小數稱這個無理數的伴隨小數。

（1）如果 a,b 是兩個不相等的有理數，(a+b)/2就是這兩個數之間的實數。
（2）如果 a,b 是兩個不相等的無理數，它們的伴隨小數一定不等。從高位
往低位搜索它們的伴隨小數，一定能找到第一個不相等位。假設a的伴隨小數
這位大於b的伴隨小數這位。把a的伴隨小數從這位後面截斷，得到a的不足近
似值。從這位往低位搜索b的伴隨小數，一定能找到第一個不是9的位。把b的
伴隨小數從這位後面截斷，再在末位加1，得到b的盈餘近似值。a的不足近似
值大於b的盈餘近似值，且都是有理數。它們的算數平均值就是在這兩個近似
值之間，也在a,b之間。
（3）如果 a是無理數,b是有理數，證明與（2）類似。

上述證明假設a,b都是正的。a,b都是負的,a,b一正一負的證明類似。

這個問題屬於實數論，用極限做是不妥的。當然，極限論的基礎問題用導數解
也是不妥的。