列出方程：

a*6^4+b*5^4+c*4^4+d*3^4+e*2^4+f*1^4=1599  （1）

若等式成立，則左右兩邊的奇偶性需一致，即都是奇數，亦即被2除的餘數是1.

故右邊除去6、4和2的4次方，不會影響（1）的奇偶性，即（1）簡化為

b*5^4+d*3^4+f*1^4=1599 ≡1(mod 2)

移項，可成

b*5^4+d*3^4 = 1599 - f*1^4  (2)

顯然，（2）的兩邊都是偶數。

故b僅取1即可，因為b=2，2*5^4=1250是偶數。

左邊考慮(5^4,3^4)的個數：(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(1,11).(1,13)七種。

類似，右邊也是七種偶數：f=1,3,5,7,9,11,13。

顯然，(2)在此七種情況下都不會成立！

命題得證。