答應喜子的文章,我從頭講一下. 並謝謝凡泥.也是寫給又忘名字.

康托爾集合論-羅素悖論-公理化集合論-不完全性定理
1. 第二次數學危機的解決---集合論成了全部數學的基礎。

(第二次數學危機詳細見參考中三次數學危機.)
19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了 極限理論，19世紀70年代初，外爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理.從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。而嚴密的實數理論可以由集合論推出。集合論是19世紀70-80年代由德國數學家康托爾創立，它建立在一種無限觀——“實無限”的基礎上。所謂“實無限”，即把“無限”作為一個已經完成了的觀念實體來看待。例如，在集合論中用N={n：n是自然數}表示全體自然數的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的幾千年數學發展史中，占主導地位的是另一種無限觀，即古希臘哲學家亞里士多德所主張的“潛無限”觀念。所謂“潛無限”，是把“無限”作為一個不斷發展着的、又永遠無法完成的過程來看待。例如，把自然數看成一個不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，…，n，…就是如此。 集合論是數學觀念和數學方法上的一次革命性變革，由於它在解釋舊的數學理論和發展新的數學理論方面都極為方便，因而逐漸為許多數學家所接受。實數理論奠定在集合論的基礎上，而且各種複雜的數學概念都可以用“集合”概念定義出來，而各種數學理論又都可以“嵌入”集合論之內。因此，集合論就成了全部數學的基礎，而且有力地促進了各個數學分支的發展。現代數學幾乎所有的分支都會用到集合這個概念。

2. 康托爾集合論(現在有人也稱之為樸素集合論)面料挑戰.
從康托爾創立了數學領域中的“集合論”，用集合論中的觀點來詮釋各個數學概念之間的邏輯關係，真可謂是“天衣無縫”。因此集合論被譽為“數學大廈的基石”。然而事情並非總是順利的。1900年左右，正當康托爾的思想逐漸被人接受，並成功地把集合論應用到了許多別的數學領域中去，大家認為數學的“絕對嚴格性”有了保證的時候，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論的邊緣被發現了。開始，人們並不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數學中的奇特現象。1897年意大利數學家布拉里.福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論。1899年，康托爾發現了 “康托爾悖論”，亦稱“最大基數悖論”。福爾蒂和康托的悖論只涉及到集合論中的結果，沒有引起當時數學家們的足夠重視。但羅素於1901年5月發現了一個悖論。它除了涉及集合概念本身外不需要別的概念。此後又有其他樸素集合論的悖論出現, 例如理查德悖論, 培里悖論, 格瑞林和納爾遜悖論等. 集合論的現代悖論與邏輯的幾個古代悖論還有關係。例如，公元前4世紀的歐伯利得悖論：“我現在正在做的這個陳述是假的。”埃皮門尼德（公元前6世紀，克利特人）悖論：“克利特人總是說謊的人。”

3. 羅素悖論和理髮師悖論
羅素悖論的數學表達：設性質P(x)表示“x不屬於x ”，現假設由性質P確定了一個類A----也就是說“A全集P(x)(x屬於A 與 x不屬於A 性質不能同時成立 )”。那麼現在的問題是：A屬於A 是否成立？首先，若A屬於A ，則A是A的元素，那麼A具有性質P，由性質P知A不屬於A ；其次，若A不屬於A ，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A不屬於A 。
羅素悖論的普通表達:“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果說是，即包含自身，屬於這個集合，那麼它就不包含自身；如果說否，它不包含自身，那麼它理應是這個集合的元素，即包含自身。
可能有人看不懂羅素悖論，沒關係，羅素本人就用通俗的“理髮師悖論”作了比喻；理髮師自稱，他給所有自己不刮鬍子的人刮鬍子，但不給任何自己刮鬍子的人刮鬍子。試問理髮師該不該給自己刮鬍子？如果他從來不給自己刮鬍子，就屬於“自己不刮鬍子的人”。根據他的自稱，他就應該給自己刮鬍子，但是，一旦他給自己刮鬍子，他就成了“自己刮鬍子的人”了。還是根據他的自稱，他就不應該給自己刮鬍子。所以不管理髮師的鬍子由誰來刮，都會產生矛盾。
羅素悖論的詳細解釋:把集合分成兩類，凡是不以自身作為元素的集合稱為正常集P(x) 表示“x不屬於x ”.(或稱一種叫自吞的,一種叫非自吞的,或說自包含的,非自包含的.或說正常的,非正常的.)，（例如，自然數集合N本身不是自然數, 數學表達N不屬於N. 因此N是正常集。再例如:所有彩虹網友的集合不是彩虹網友. 所有男人的集合不是男人）凡是以自身作為元素的集合稱為異常集。（例如，所有的非生物的集合F並非生物，數學表達F屬於F.因此F是異常集。所有非植物的集合不是植物.所有非質數的集合不是質數.等等）每個集合或者為正常集或者為異常集。設A為全體正常集(性質P)所組成的集合，那麼A是不是正常集？
如果A是正常集，由正常集P的定義知A不屬於A，又因A是全體正常集的集合，所以正常集A屬於A.但這說明A不是正常集，是異常集；反之，如果A不是正常集，是異常集，那麼由異常集的定義知A屬於A，這說明A是全體正常集組成的集合A的元素，因而A又應該是正常集。

4. 公理化集合論的建立和完善.
集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從悖論被發現之後，關於這一課題發表了大量的文章，為解決它們作過了大量的嘗試。
激進的是以荷蘭數學家布勞威爾為代表的直覺主義學派，他們對集合論採取了全盤否定的態度，並認為“實無限”的觀念是集合論悖論產生的根源。
還有以羅素為代表的邏輯主義.
特別突出的是以希爾伯特為代表的形式主義數學學派。這方面的代表性成果是公理集合論，它已成為現代數學的一個重要分支。公理集合論採用公理化的方法來刻畫集合和集合的運算，並對康托爾集合論中的“概括原則”作了修正。
就數學而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公理化的基礎上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次這樣的嘗試是策梅羅於1908年做出的。以後還有多人進行加工。但是，此種方式曾受到批評，因為它只是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現別種悖論。
策梅羅的公理化集合理論中，集合這個概念一直不加定義，而它的性質就由公理反映出來。他不說什麼是集合，而只講從數學上怎樣來處理它們，他引進七條公理：決定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、單元素公理、對集公理)、分離公理、冪集公理、併集公理、選擇公理、無窮公理(稍稍改變一下原來形式)。
受到的批評：
1)、為了討論集合，我們必須從對象“域”開始，也就是用某種方法構成的域；2)、策梅羅關於確定的命題要有一個定義使得它精確化；3)、在所有完全的公理化中，集合論的概念不可避免地是相對的；4)、策梅羅的公理系統不足以提供通常集合論的基礎；5)、當人們打算證明公理的無矛盾時，謂語句所引起的困難；6)、對象域B的不唯一性；7)、數學歸納法對於抽象給出的公理系統的必要性；8)、選擇公理的問題。
蘭克爾改進的策梅羅集合論公理系統，再加上選擇公理是足夠數學發展所需的，但是還需要加一條限制性的公理，即除了滿足這些公理的集合之外沒有其他的集合。
為排除一個悖論涉及所謂基礎集合，為了排除這種集合，馮•諾依曼引進公理9(基礎公理).
對改進後的ZF集合論公理系統的批評:
這樣施加限制有點不必要地過分嚴格，使得數學家在論證過程中失掉一些有時有用的論證方式，而這些論證方式似乎是沒有惡性循環的。
仍然存在許多問題，例如：不可達基數和序數是不是存在？；連續統假設是否能夠證明；公理系統的協調性和獨立性，……從三十年代之後，為了解決這些問題，公理集合論掀開了新的一頁。

5.公理系統的最後努力遇到了不完全性定理:
1930年前，整個數學界是非常樂觀的：希爾伯特的思想占統治地位；數學是建立在集合論和數理邏輯兩塊基石之上；康托爾的樸素集合論已被公理集合論所代替，從而消除了悖論；選擇公理是一個很好的工具，數學中許多部門都要用到它；連續統假設仍然是懸案，不過希爾伯特多次覺得自己已接近解決這個難題，看來前景是樂觀的；大部分數學可以建立在謂詞演算的基礎上，而一階謂詞演算的公理系統是無矛盾的，儘管其完全性仍有待證明；整個數學的基本理論是自然數的算術和實數理論，它們都已經公理化。這些公理系統應該是無矛盾的、完全的，如果它們能夠得證，並且集合論公理系統也能得到同樣的結果，那麼整個數學就比較牢靠了。
為了不使一小撮直覺主義者指手劃腳、評頭品足，希爾伯特提出他的計劃：把理論系統形式化，然後通過有限多步證明它們沒有矛盾。他信心十足，在1930年9月東普魯士哥尼斯堡的科學會會議上，他批判了不可知論。
1928年希爾伯特提出四個問題：
1)、分析的無矛盾性。1924年阿克曼和1927年馮•諾依曼的工作使希爾伯特相信只要一些純算術的初等引理即可證明。1930年夏天，哥德爾開始研究這個問題，他不理解希爾伯特為什麼要直接證明分析的無矛盾性。哥德爾認為應該把困難分解：用有限主義的算術證明算術的無矛盾性，再用算術的無矛盾性證明分析的無矛盾性，哥德爾由此出發去證明算術的無矛盾性而得出不完全性定理。
2)、更高級數學的無矛盾性，特別是選擇公理的無矛盾性。這個問題後來被哥德爾在1938年以相對的方式解決。
3)、算術及分析形式系統的完全性。這個問題在1930年秋天哥尼斯堡的會議上，哥德爾已經提出了一個否定的解決，這個問題的否定成為數理邏輯發展的轉折點。
4)、一階謂詞邏輯的完全性。這個問題已被哥德爾在1930年完全解決。
這樣一來，哥德爾的工作把希爾伯特的方向扭轉，使數理邏輯走上全新的道路。
哥德爾的不完全性定理：這是數理邏輯最重大的成就之一，是數理邏輯發展的一個里程碑和轉折點。哥德爾在研究過程中直接考慮悖論及解決悖論的方法，從而把第三次數學危機引導至另外一個方向上。
哥德爾證明不完全性定理是從考慮數學分析的協調性問題開始的。1930年秋在哥尼斯堡會議上，他宣布了第一不完全性定理：一個包括初等數論的形式系統，如果是協調的，那就是不完全的。不久之後他又宣布：如果初等算術系統是協調的，則協調性在算術系統內不可證明。
哥德爾的證明使用了“算術化”的方法。哥德爾說：“一個系統的公式……從外觀上看是原始符號的有窮序列……。不難嚴格地陳述，哪些原始符號的序列是合適公式，哪些不是；類似地，從形式觀點看來，證明也只不過是(具有某種確定性質的)一串公式的有窮序列”。因此，研究一個形式系統實際上就是研究可數個對象的集合。我們給每個對象配上一個數，這種把每一個對象配上一個數的方法稱為“哥德爾配數法”。哥德爾通過這些數反過來看原來形式系統的性質。
哥德爾研究了46種函數和謂詞，哥德爾證明了他的前45個函數和謂詞都是原始遞歸的。但第46個謂詞為“X是一個可證公式的哥德爾數”。在對哥德爾配數的系統中，可以得到一個公式，它相當於：我是不可證的。所以這個句子是不可證的且是真的。所以系統中存在真語句而又不可證，也就是系統不完全。
哥德爾的論文在1931年發表之後，立即引起邏輯學家的莫大興趣。它開始雖然使人們感到驚異不解，不久即得到廣泛承認，並且產生巨大的影響：
哥德爾的證明對希爾伯特原來的計劃是一個巨大的打擊，因此把整個數學形式化的打算是註定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的；“希爾伯特計劃”中證明論的有限主義觀點必須修正，從而使證明論的要求稍稍放寬。1936年甘岑在容許超窮歸納的條件下證明了算術的無矛盾性，而倡導有限構造主義的直覺主義也不能解決問題；哥德爾的工具遞歸函數促進了遞歸函數論的系統研究，同時推動了不可判定問題的研究，開始出現遞歸論的新分支。
哥德爾不完全定理的證明結束了關於數學基礎的爭論不休的時期，數學基礎的危機不那麼突出表現出來。數理邏輯形成了一個帶有強技巧性的獨立學科，而絕大部分數學家仍然把自己的研究建立在樸素集合論或ZF公理集合論的基礎上。
儘管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可迴避。研究這些矛盾，特別是集合論的矛盾變成數理邏輯學家的事業。因為矛盾也好、危機也好，根源在於無窮，但是數學中畢竟少不了無窮。歸根結蒂，數學終究是研究無窮的科學。

6. 哥德爾第一不完全性定理
哥德爾第一不完全性定理：一個包括初等數論的形式系統，如果是協調的，那就是不完全的。不久之後他又宣布：如果初等算術系統是協調的，則協調性在算術系統內不可證明。
哥德爾不完備定理，將數學基礎研究的哲學意義，揭示得更加明顯。哥德爾不完備定理是說：當一個演繹系統是自足的（不矛盾的），總有至少一個或幾個前提是在系統內不能證明的。例如，在相對論中，光速C恆定且最大這個前提，就是不能在相對論演繹系統中證明的。
如果我們要證明數學理論的相容性或完備性（這兩者被視為數學真理性的要求），必須要依靠該數學理論以外的論據，也就是說我們需要更大的系統來說明理論本身是真的，在此之前，我們還需要更更大的系統來說明那個被擴大的系統是真的……到了最後，無一處是獨立的真理，因為每一個系統的真理性都依賴於其它系統的真理性，這個特徵不僅表現在數學之中，也表現在人類的所有語言形式之中。
　　對於一個足夠複雜的數學理論，並非所有的真命題在系統內都是可證的，就連其一致性在系統內也是不可證。某個程度可以這樣說，當我們指出某個理論系統是真理性的，最低限度有其信念的成分，在那些不能完全證明的地方，我們仍然相信它。

7. 數學確定性的喪失:
經過“悖論”大辯論的洗禮，現代公理集合論的一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。
你要問有沒有可能,消滅所有的現代公理集合論的一大堆公理.仍然完美解決羅素悖論, 那我就告訴你,有可能,但需要一個比集合論更大的系統.
數學的真理性不是絕對的可證的,它的確定性在喪失.

8. 數學的公理基礎來自不完全歸納證明
歸納證明中的不完全歸納證明,通過舉出某些例證,再得出一般性結論。一旦有特殊相反例證出現,就可以推翻該不完全歸納證明的結論.
常說的:"證明兩點之間直線是最近的"正是如此.雖然可以通過舉出某些例證,再得出一般性結論說兩點之間直線是最近。但有特殊相反例證出現,可以推翻該不完全歸納證明的結論.
相對論由絕對時空到告訴我們時空與運動,與引力場有關,大質量天體(自然界中存在多種具有強引力場的天體。如中子星和黑洞。)使時空彎曲,並得到驗證. 因此,當天體系統中的引力場足夠強時，就必須計及廣義相對論對牛頓力學的改正，或乾脆要用廣義相對論來進行計算處理。理論還被用來研究在一般系統中對牛頓力學的修正的大小和必要性。在扭曲的時空中, 兩點之間直線是最近的,不再正確.
因此說不完全歸納證明是力度很小,要依靠信心的公理基礎.

讀者你如果是追求真理的人,你應當看的更高一些.
一句話,所有的討論都是為了引導你認識真理,道路和生命!

參考:
1. 羅素悖論的責難──第三次數學危機
2. 科學雜誌文章: 悖論---馮 棉
3. 論數學史上的三次危機 – Newton
4. 集合——數學大廈的根基
5. 三次數學危機--- 《心橋》第24期