所有中国人都应该为中国数学家在微分几何领域所取得的成就，和对庞加莱猜测的贡献而感到骄傲。

Ricci流理论之父Hamiton教授关于庞加莱猜想的最新谈话

国际著名数学家，Ricci流理论之父Richard Hamilton教授近日在清华大学与晨兴数学中心访问曹怀东教授。以下是他的谈话记录。

著名的庞加莱猜想是说，每个单连通紧致三维流形都同胚于球面。

用分析方法研究庞加莱猜想有着很长的历史，起源于Yamabe，他试图在流形上赋加一些好的度量。接下来的发展则是Ricci流理论的出现。“Ricci流”是指黎曼流形上的一类热方程。在流形上给定一个度量，用Ricci流发展方程加以改进，流形的曲率也随之伸展。

丘成桐教授最早提示我，三维流形上的Ricci流将会产生瓶颈（neckpinch）现象，并把流形分解为一些连通的片，所以可以用来证明庞加莱猜想。

过去二十年中许多学者都在研究这个问题，特别最近Perelman的重大突破。

对Ricci流奇点的详细分析告诉我们，瓶颈和退化瓶颈都可以用拓扑手术的方法消除。但是还有一种可能性无法排除，当某种瓶颈用拓扑手术消除以后，会产生曲率塌陷。而Perelman的关键工作就是证明了非塌陷（non-collapsing）定理，从而排除了这种奇点的可能性，这就得到Ricci流证明庞加莱猜想的整个纲领的可行性。

中国数学家在这一发展中作出了非常重要的贡献。陈省身，丘成桐建立了非常了不起的微分几何中国学派。从1970年开始，丘证明了几个重大的猜想。包括卡拉比猜想，弦论中卡拉比－丘度量的存在性，广义相对论中的正质量猜想（与Schoen合作），凯勒几何中的Frankel猜想（与萧荫堂合作）以及代数几何中的Severi猜想。这为他赢得了众多国际数学界的大奖和崇高的学术声望，包括菲尔兹奖，Crafoord奖，美国国家科学奖和McCarty奖等。

在80-90年代，丘培养了好几位出色的学生，在Ricci流理论中作出了重要的贡献。曹怀东证明了凯勒流形上长时间解的存在性，并证明了第一陈类为零或负时解的收敛性。他还证明了正双截曲率流形的Harnack估计，他是当今Ricci－凯勒流理论的国际权威。施皖雄证明了Ricci流的局部导数估计，在Ricci流理论中具有基本的重要性，包括Perelman工作中所有与爆破（blowup）有关的论证。周培能证明了曲面上Ricci流的收敛性。对几何流理论产生重大的影响的一项工作，当数丘成桐与李伟光在1982年证明了热方程的Harnack估计，这导致了几何流Harnack估计的发展，包括Ricci流的Harnack估计，这对Ricci流古典解的分类是绝对重要的。

这也导致Perelman的Harnack不等式，同样也出现在Perelman，积分直接得到Entropy公式。Perelman用丘成桐－李伟光的方法得到约化体积的Riesz函数。这些都对Perelman证明非塌陷定理起了关键的作用。

丘成桐等许多学者在极小曲面理论上的工作也在Ricci流理论中扮演了重要的角色，比如证明具有有限基本群的流形上Ricci流的有限消亡时间。

曹怀东与朱熹平最近在Perelman与前人的工作基础上，给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解，包括完备流形上解的唯一性，用新的方法研究典则领域定理证明中的反向爆破，这是基于朱熹平与陈兵龙关于孤立子扩张的工作。

曹怀东与朱熹平的文章中充分肯定了Perelman的工作对于证明庞加莱猜测所起的重要作用，同样，Perelman在文章中也明确指出他的工作是建构于前人的众多贡献基础上的。所有中国人都应该为中国数学家在微分几何领域所取得的成就，和对庞加莱猜测的贡献而感到骄傲。

我正在北京与曹怀东讨论证明中的一些细节，我还将在下周到苏黎世与Huisken和Ilmanen继续这些讨论，我们希望在毫无争议的前提下正式公诸于世，因为许多科学家需要把这些结果用到他们的工作中去。