房貸是複利

再把單利和複利的公式寫一遍。

單利:

月息為r, 本金為P0。一個月後，一共P0(1+r); 兩個月後，一共P0(1+2r)；

三個月後，一共P0(1+3r)，。。。。五個月後一共P0(1+5r)。

如果帶入具體數字，就用直言的那個表格。本金為100塊，月息為10%，五個月後為100(1+5x10%)=150 。 如果是n個月後，一共為P0(1+nr)。

複利:

月息為r，compounded monthly。一個月後，是P0(1+r)。二個月後P0(1+r)(1+r)。........五個月後，是P0(1+r)^5。如果是n個月後，一共為P0(1+r)^n。

房屋貸款實際上是這樣的邏輯。金融裡面有一個很重要的概念就是今天的1塊跟明天的1塊不一樣，不能直接比較。如果要比較，就要把它們放在同一個時間點。比如，今天的1塊到了明天是多少錢，然後再比較。或者，明天的1塊在今天值多少錢，然後再比較。房屋貸款也要這樣看。

舉一個具體的例子，這個例子的數據是從維機百科來的。

http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed-rate_mortgage

現在，把所有的CASH FLOWS放到30年後，或者說360個月以後。

今天借了200萬。月息為r。COMPUNDED MONTHLY。複利。

一個月之後為200,000(1+r)，二個月後你欠200,000(1+r)^2;

。。。。。。

360個月後，共欠款200,000(1+r)^360。

當然也要把每次的付款放到30年後，然後加起來，這就是30年共付款。

這個總數應該跟200,000(1+r)^360相等。把所有欠款都還完了。

怎麼把每次的付款放到360月後?

 用C表示每月的固定還款。

最後一次還款已經在360個月後，所以就是C。

倒數第2個還款，經過一個月後，變成了C(1+r)。

倒數第3個還款，經過2個月後，變成了C(1+r)^2。

也是複利。

以此類推，

第一個付款，經過359個月後，變成了C(1+r)^359。

然後就能把所有的還款都加在一起，因為，已經都轉換到30年後了，所以，可以加。

C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。+ C(1+r)^359。

200,000(1+r)^360必須跟C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。C(1+r)^359相等。

其中r=6.5%/12=0.0054。

然後就可以算出月付款。

再回到我給的連接，看公式的推倒，不用全看，只要找到這行:

再往下數3行，看這個公式。

N=360。 P360=0，這360個月時，欠款還清了。

把 P360=0代進這個公式，再把P0(1+r)^360移到等號的另一邊，剛好就是我上面推導的這句說:

200,000(1+r)^360必須跟C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。C(1+r)^359相等。

這也就是這個計算月付款公式的”金融含義”。

算出來是月付款1264。

如果這個懂了，把複利換成單利，就非常簡單了。利用單利的公式。同樣把所有的cash flows放到360個月以後。

先說欠款:

貸款第一天欠200,000。

一個月之後為200,000(1+r)，二個月後你欠200,000(1+2r)

。。。。。。

360個月後，共欠款200,000(1+360r)。

然後再把所有的付款都放到360個月後，然後相加。

最後一次還款已經在360個月後，所以就是C。

倒數第2個還款，經過一個月後，變成了C(1+r)。

倒數第3個還款，經過2個月後，變成了C(1+2r)。

也是單利。

以此類推，

第一個付款，經過359個月後，變成了C(1+359r)。

然後相加:

C + C(1+r) + C(1+2r) +。。。。。+ C(1+359r)

這個應該跟200,000(1+360r)相等。r= 0.0054

一看就知道，單利是個等差數列。複利是個等比數列。

我算了一下單利的結果，各位可以驗證一下，大概是C = $831左右。

當然，也可以把所有的cash flows放到第一個月開始貸款的時候。

怎麼做?

再回到這個公式。

200,000(1+r)^360 = C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。C(1+r)^359

等式兩邊同時除以(1+r)^360 。就能看出其中的”金融”含義。

對於單利，也可以把所有的cash flows放到第一個月開始貸款的時候。

所以，不僅僅是房屋貸款是複利，幾乎所有商業運行的模式都是複利。除非特殊說明的情況下。

如果看懂了，就知道，房屋貸款不僅是複利，而且是explicit的。毫無疑問。跟是否及時付款等，完全沒有關係。