冬冬同學今天試圖從數學上證明房貸是複利。儘管是錯誤的，然，冬冬同學的誠意和求實精神還是值得肯定的。先表揚一哈。 

冬冬同學的證明思路，簡單歸納，無非是計算單利的公式和複利的公式不同。而房貸用的是計算複利的公式。因此，房貸是複利的。 

其實這不僅僅是冬冬同學的論據，幾乎所有認為房貸是複利的，都是基於同一思維，即房貸用的是複利公式，因而房貸是複利。

房貸計算利息，事實上沒有用複利公式，相反，房貸計算利息，自始至終用的是單利公式。所謂複利公式，是同學們的錯覺或誤解。 

重複一哈單複利的定義。

單利計算利息的公式為：p× r × n 

複利計算公式為：p * (1 + r) ^ n 

其中，p = 本金，r = 利率，n = 利息結算次數 

即：如本金為10,000，年息為10%，10個月後為： 

單利利息總計：10,000 * (10%/12) * 10 = 833.33

複利利息總計：10,000 * （1 + (10%/12)）^ 10 – 10,000 = 865.29 

本人曾經專門發帖指出，複利僅僅被用作推算 amortization payment 輔助工具，僅此而已。房貸的利息並不是按照複利計算的。 

熟悉複利公式的同學，包括不熟悉金融，但中學數學還沒有忘乾淨的同學，應該都知道，複利公式是本金和利息混在一起計算的，大前提是利滾利。而單利則只計本金，不包含之前產出利息。 

而按照 amortization schedule，房貸利息每結算一次，借貸者按合約必須支付，銀貨兩訖，不允許有前帳未清的情況。既然利息已付清，則無可能去息上加息，利滾利，如何可能用複利公式去算利息聶？ 

其實，具數學頭腦、理解問題概念清楚的同學，看到這點，就應該明白房貸計利是不可能、也無法用複利公式的，因此也就不應該堅持房貸是複利。

導致冬冬等同學誤以為房貸計利用複利公式的，是推算 amortization payment 用到 p * (1 + r) ^ n。即：

冬冬等同學是受到了表象的迷惑，一看到 p * (1 + r) ^ n，就以為房貸是複利。流於表層，沒有看到本質。

要透過表象，直達本質，就要明白這個公式的全部含義，而不是局部。

這個公式的整體含義是：N 期欠款，是如果本利分文未付的欠款額減去已付款（利息加本金）的未來價值。兩者是個整體，一定要和在一起理解，萬萬不可肢解。

所以關鍵是 c(S) 究竟是什麼。

根據冬冬同學提供的資料，我們知道：

而

有金融常識的同學都知道，除了 negative mortgage，市面上的房貸皆滿足 c => P_0 * r 的條件。 

再套用上面單、複利例子： 

本金為10,000，年息為10%（月息為10% / 12），五個月後總計產出利息為：

• 單利利息總計：10,000 * (10% / 12) * 10 = 833.33
• 複利利息總計：10,000 * （1 + (10% / 12)）^10 – 10,000 = 865.29

用 Excel amortization schedule，得

十月份累計利息為833.33，與單利利息總計的833.33相符，而不是複利公式計算出來的865.29。

當然，為了簡捷方便，這裡用的相當於 interest only 房貸。但是與正常月付額大於月產利息的道理卻是一樣的。

現在，我們再看一哈計算剩餘欠款的公式：

用上例條件，得：

p * (1 + r) ^ n = 10,000 * （1 + (10% / 12)）^5 =  10,865.29 

c = p * r = 83.33

S= 10.38

c(S) = 865.29 

因此，P_10 = 10,865.29 - 865.29 = 10,000，與 Excel amortization schedule 的餘款完全相符。 

由此，我們亦可以看出，只要月配（amortized payment）不小於月利息額時，即 c => P_0 * r），用來推算amortized payment 的“複利”部分正好被c(S) 抵消。

冬冬同學關於房貸反映 time value of money 的看法是對的。冬冬沒有看出來的是，借貸者的月付也同樣被轉換成了 future value，由於c => P_0 * r，房貸中反映的 time value of money 最終被 cancel 掉了。 

因此，儘管推算 amortized payment 時用到複利概念，房貸的利息卻並不包含複利。 

再重申一遍，複利的唯一要素是利滾利，而c => P_0 * r 避免了利滾利。因此滿足c => P_0 * r 條件的房貸，是不可能有複利的。道理其實灰強簡單，common sense 層次的東西也。

最後申明一句，本人是數學盲，不憚貽笑大方，獻醜，囉里囉唆說了那麼多，唯認真，不願搗糨糊也。 

五味藏龍臥虎。望諸位朋友、尤其是數學家朋友不吝賜教。

謝謝。