冬冬同学今天试图从数学上证明房贷是复利。尽管是错误的，然，冬冬同学的诚意和求实精神还是值得肯定的。先表扬一哈。 

冬冬同学的证明思路，简单归纳，无非是计算单利的公式和复利的公式不同。而房贷用的是计算复利的公式。因此，房贷是复利的。 

其实这不仅仅是冬冬同学的论据，几乎所有认为房贷是复利的，都是基于同一思维，即房贷用的是复利公式，因而房贷是复利。

房贷计算利息，事实上没有用复利公式，相反，房贷计算利息，自始至终用的是单利公式。所谓复利公式，是同学们的错觉或误解。 

重复一哈单复利的定义。

单利计算利息的公式为：p× r × n 

复利计算公式为：p * (1 + r) ^ n 

其中，p = 本金，r = 利率，n = 利息结算次数 

即：如本金为10,000，年息为10%，10个月后为： 

单利利息总计：10,000 * (10%/12) * 10 = 833.33

复利利息总计：10,000 * （1 + (10%/12)）^ 10 – 10,000 = 865.29 

本人曾经专门发帖指出，复利仅仅被用作推算 amortization payment 辅助工具，仅此而已。房贷的利息并不是按照复利计算的。 

熟悉复利公式的同学，包括不熟悉金融，但中学数学还没有忘干净的同学，应该都知道，复利公式是本金和利息混在一起计算的，大前提是利滚利。而单利则只计本金，不包含之前产出利息。 

而按照 amortization schedule，房贷利息每结算一次，借贷者按合约必须支付，银货两讫，不允许有前帐未清的情况。既然利息已付清，则无可能去息上加息，利滚利，如何可能用复利公式去算利息聂？ 

其实，具数学头脑、理解问题概念清楚的同学，看到这点，就应该明白房贷计利是不可能、也无法用复利公式的，因此也就不应该坚持房贷是复利。

导致冬冬等同学误以为房贷计利用复利公式的，是推算 amortization payment 用到 p * (1 + r) ^ n。即：

冬冬等同学是受到了表象的迷惑，一看到 p * (1 + r) ^ n，就以为房贷是复利。流于表层，没有看到本质。

要透过表象，直达本质，就要明白这个公式的全部含义，而不是局部。

这个公式的整体含义是：N 期欠款，是如果本利分文未付的欠款额减去已付款（利息加本金）的未来价值。两者是个整体，一定要和在一起理解，万万不可肢解。

所以关键是 c(S) 究竟是什么。

根据冬冬同学提供的资料，我们知道：

而

有金融常识的同学都知道，除了 negative mortgage，市面上的房贷皆满足 c => P_0 * r 的条件。 

再套用上面单、复利例子： 

本金为10,000，年息为10%（月息为10% / 12），五个月后总计产出利息为：

• 单利利息总计：10,000 * (10% / 12) * 10 = 833.33
• 复利利息总计：10,000 * （1 + (10% / 12)）^10 – 10,000 = 865.29

用 Excel amortization schedule，得

十月份累计利息为833.33，与单利利息总计的833.33相符，而不是复利公式计算出来的865.29。

当然，为了简捷方便，这里用的相当于 interest only 房贷。但是与正常月付额大于月产利息的道理却是一样的。

现在，我们再看一哈计算剩余欠款的公式：

用上例条件，得：

p * (1 + r) ^ n = 10,000 * （1 + (10% / 12)）^5 =  10,865.29 

c = p * r = 83.33

S= 10.38

c(S) = 865.29 

因此，P_10 = 10,865.29 - 865.29 = 10,000，与 Excel amortization schedule 的余款完全相符。 

由此，我们亦可以看出，只要月配（amortized payment）不小于月利息额时，即 c => P_0 * r），用来推算amortized payment 的“复利”部分正好被c(S) 抵消。

冬冬同学关于房贷反映 time value of money 的看法是对的。冬冬没有看出来的是，借贷者的月付也同样被转换成了 future value，由于c => P_0 * r，房贷中反映的 time value of money 最终被 cancel 掉了。 

因此，尽管推算 amortized payment 时用到复利概念，房贷的利息却并不包含复利。 

再重申一遍，复利的唯一要素是利滚利，而c => P_0 * r 避免了利滚利。因此满足c => P_0 * r 条件的房贷，是不可能有复利的。道理其实灰强简单，common sense 层次的东西也。

最后申明一句，本人是数学盲，不惮贻笑大方，献丑，啰里啰唆说了那么多，唯认真，不愿捣糨糊也。 

五味藏龙卧虎。望诸位朋友、尤其是数学家朋友不吝赐教。

谢谢。