芝諾悖論今昔談(2008-06-25 15:51:44)
 
原載《哲學動態》1992年第12期

愛利亞的芝諾為了捍衛他老師巴門尼德關於“存在”不動、是一的學說，提出了著名的運動悖論和多悖論，以表明運動和多是不可能的。他的結論在常人看來當然很荒謬，但他居然給出了乍看起來頗令人信服的論證，故人們常常稱這些論證構成了悖論或佯謬。不過，若細細推敲，其結論未必荒謬，其論證未必令人信服，故中性的稱這些論證為芝諾論辨（Argument）最為合適。

一、歷史追溯

    芝諾的運動論辨全部得自亞里士多德在《物理學》中的轉述，有四個：

    1、二分法。物體在到達目的地之前必須先到達全程的一半，這個要求可以無限的進行下去，所以，如果它起動了，它永遠到不了終點，或者，它根本起動不了。

    2、阿喀琉斯（一譯阿基里斯）。快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須首先跑到被追者的出發點，而當它到達被追者的出發點，又有新的出發點在等着它，有無限個這樣的出發點。

    3、飛矢不動。任何東西占據一個與自身相等的處所時是靜止的，飛着的箭在任何一個瞬間總是占據與自身相等的處所，所以也是靜止的。

    4、運動場。兩列物體Ｂ、Ｃ相對於一列靜止物體Ａ相向運動，Ｂ越過Ａ的數目是越過Ｃ的一半，所以一半時間等於一倍時間。[1]

四個論辨可分成兩組，前兩個假定時空是連續的，後兩個假定時空是分立的，每組的第一個論證絕對運動不可能，第二個論證相對運動不可能。

關於多的論辨得自辛普里丘在《〈物理學〉注釋》的轉述，大意是：如果事物是多，那麼大會大到無限大，小會小到零，因為任何數量都可以無限分割，若分割的結果等於零，則總和是零，若分割結果不是零，則無限總和是無限大。[2]

以上轉述從哲學史角度看都過於粗疏，不過對於討論其哲學含義則差不多夠了。

１９、２０世紀之交的絕對唯心主義者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盤接受芝諾的論證和結論。他視運動、時間空間為幻象，芝諾論辯正好符合他的主張，當然全盤接受。在《現象與實在》中他寫道：“時間與空間一樣，已被最明顯不過的證明為不是實在，而是一個矛盾的假象。”[3]除布拉德雷之外，哲學史上大部分哲學家認為芝諾的結論是荒謬的，其論證有問題。不過，在不斷檢查其論證毛病的過程中，人們反倒發現了芝諾論辨的深刻之處。常常是人們自以為解決了芝諾悖論，不多久就又發現其實並沒有解決。

已知最早的批評來自亞里士多德。關於二分法，他說，雖然不可能在有限的時間越過無限的點，但若把時間在結構上看成與空間完全一樣，也可以無限分割，那麼在無限的時間點中越過無限的空間點是可能的；關於阿喀琉斯，他說，如慢者永遠領先當然無法追上，但若允許越過一個距離，那就可以追上了；關於飛矢不動，他說，這個論證的前提是時間的不連續性，若不承認這個前提，其結論也就不再成立了；關於運動場，他說，相對於運動物體與相對於靜止物體的速度當然是不一樣的，越過同樣距離所花的時間當然也不一樣。亞氏批評的意義主要在於使芝諾論辨顯得更為明了，前面對諸論辨的轉述就顯然參照了亞里士多德的這些批評。[4]

黑格爾對芝諾悖論的解決是：“運動的意思是說：在這個地點又不在這個地點；這就是空間和時間的連續性，──並且這才是使得運動可能的條件。”[5]這個解決方法要點在於強調時間空間的連續性，而且對連續性賦與新的、特有的解釋。不過，它似乎並沒有直接針對芝諾論辨本身來提出批評，而且關於連續性的獨特解釋與數學和邏輯所要求的精確性不相容。受黑格爾的影響，我國哲學界一般認為芝諾不懂得連續性和間斷性的辯證關係，把這兩者機械的對立起來，所以造成運動悖論。這大意是說，芝諾的論證沒使用辯證邏輯，因而是無效的。這種批評同樣是籠而統之，不關痛癢。

二、分析與分析的困境

１９世紀以來，從數學的、邏輯的角度提出的解決方案較多，我統稱為分析的方法。

1、  無窮級數的求和

在芝諾的運動悖論和多悖論中都涉及到無限分割後的求和問題，微積分的發展使得對此進行定量分析成為可能。對於多悖論而言，可以肯定的說，無窮分割後的各部分趨於零但不等於零，其總和不等於零，但也不會是一個無限量。

對於阿喀琉斯而言，他雖然要無數次的到達某個起始點，但它所走的空間距離並不是一個無限量，追龜情形下的空間距離是：d+d(v2/v1)+d(v/v1)^2+……+d(v2/v1)^(n-1)+……
=n→∞limdv1/(v1-v2)*(1-(v2/v1)^n)=dv1/(v1-v2)

   （其中ｄ是初始距離，分別是快者和慢者的速度）

是一個有限數，對於有限的距離，當然可以在有限的時間內穿過並達到終點。

    2、無限機器問題

許多人在算出了無窮級數之和是一個有限數之後，就以為解決了芝諾的阿喀琉斯悖論，他們很顯然是認為悖論之悖在於把經歷無限之點與經歷無限之距離混為一談，只要澄清了這一點，悖論就自然消除了。

然而，算出了距離是有限的並未解決問題。讓我們來考察一下我們是怎麼算出來的。無窮級數的求和最終要用求極限的方法，求極限是什麼意思呢？並不是說我們一項一項的將無窮級數的所有項全部加在一起正好就等於這個極限值，而是說，我們可以讓無窮級數的和充分接近這個極限值，想多接近就多接近。注意，依然是“接近”。在初等數學中我們還有一個更為簡便的方法求出追上烏龜的時間，那就是假定它是ｔ，可以列出方程：V2t+d=v1t

解方程可得t=d/(v1-v2)。

在這個方法中，有一個前提，那就是假定阿喀琉斯最終追上了烏龜。這個假定說明，數學所告訴我們的不過是，如果能的話，需要多少時間，但數學不解決“是否能”的問題。

因此，還需要回到“在有限時間裡越過無限的點”問題上來，如果把越過一個點看成完成了一個動作，此問題就推而廣之變成了一個無限操作問題，有人將之命名為“無限機器”（infinite machine），也有人將之稱作“超級任務”（super task）。許多人已經證明了，超級任務是不可能完成的，無限機器不存在。[6]

最有名的無限機器是拋球機器，它是這樣設計的：一小球從ａ處開始向ｂ處拋動，令小球從ａ處拋到ｂ處時花二分之一分鐘，從ｂ拋回ａ處花四分之一分鐘，依此類推，來回拋球時間依次是：

1/2, 1/4, 1/8, ……, 1/2^n, ……
到第ｎ次時所花全部時間是：T=1/2+1/4+1/8+……+1/2^n=1-1/2^n
現在要求機器在時間到達１分鐘時停下來。可是問題出現了，人們發現無法確定小球最終落在何處。從上式看，當ｎ取奇數時，落在ｂ處，取偶數時落在ａ處，可是小球越拋越快，只有在經過無限次之後才會到達１分鐘，但一個無限數是沒有奇偶之分的，因此，搞不清１分鐘的時候小球處在什麼位置，也就是說，小球沒有終點，超級任務無法完成。

的確，由於一個無窮序列沒有最後一項，所以讓阿喀琉斯穿過所有芝諾給出的（無限個）點到達終點是不可能的。

與此類似，無限機器問題的不可解，也強化了二分法的有效性。對芝諾論辨的邏輯分析相反加強了其論辨的力量。

3、飛矢與速度問題

    如果我們假定，運動物體在每一瞬間都處在一個空間位置（這一點表面看來很顯然，但不必然真），那麼，判定它在這一瞬間是運動還是靜止，唯一的辦法是看它有沒有速度。孤立的考察這一點無法得知它是否有速度，必須考慮一個區間，速度公式是：V=ds^→/dt

其中ds^→ 是軌跡矢量的微分。

這裡要求軌跡起碼是連續的，但芝諾在這裡很顯然假定了相反的條件，即軌跡是不連續的，不連續的軌跡無法求微分，無法判定其速度。

不過，即使軌跡是連續的，求出了速度，也還是沒有解決運動本身的問題，因為得出了速度的大小，只意味着如果有運動數學可以告訴我們速度是多大，數學同樣不告訴我們是否有運動。

總的來講，如果說運動物體在每一瞬間都處在一個位置，那麼在這一瞬間，我們的確無法知道它是否是運動的，特別是當時間和空間不連續時。

4、運動場與時空的不連續結構

芝諾關於運動場的論辨從文本方面尚未完全搞清，亞里士多德的轉述讓人覺得該論辨過於沒有深度，難道芝諾連相對於靜止物體的運動與相對於運動物體的運動是不一樣的這點都不懂嗎？比較合乎情理的解釋是，芝諾想通過三列物體在分立的時空結構中的運動揭示運動是不可能的，要害在時空的分立結構上。

假定在時刻1時，三列物體排列如下：

甲甲甲甲

乙乙乙乙

丙丙丙丙

其中每個物體占據一個空間單元。過一個時間單元後是時刻2，再後是時刻3，等等，時刻2和時刻3時的排列分別是：

甲甲甲甲                甲甲甲甲

    乙乙乙乙              　　乙乙乙乙

    　    丙丙丙丙     　　     丙丙丙丙

芝諾的意思是說，在時刻３時，僅僅過了兩個時間單元，乙與丙兩列物體之間卻有了四個空間單元的位移，在時刻２時，僅僅過了一個時間單元，乙與丙卻有了兩個空間單元的位移，那對應於一個空間單元的位移的時刻是什麼呢，也就是在什麼時刻出現下列排列呢？

乙乙乙乙

丙丙丙丙

對這個問題無法回答，所以在時空的分立結構中談論運動必然要出現一個時間單元等於兩個時間單元的問題，也就是芝諾所說的“一倍的時間等於一半的時間”。這當然是荒謬的。

到現在為止，從數學和邏輯角度對芝諾論辨所進行的分析都相反加強了該論辨的力量，現代數學工具只是進一步表述了芝諾所提出的困難。

下面我們來看看對“分析”方法的超越。

三、運動不可分析

希臘時代犬儒學派的創始人第奧根尼對芝諾論辨有一個回答。據說當他的學生向他請教如何反駁芝諾時，他一言不發，在房間裡走來走去，學生還是不理解，他說，芝諾說運動不存在，我這不是正在證明他是錯的嗎？這個故事很長時間被作為一個笑話，人們大多相信，第奧根尼根本沒有弄懂芝諾的意思。芝諾並不是說在現象界沒有運動這麼一回事，他當然承認有，但他要說的是，雖然滿目是物體在飛舞，但運動是不合理的，我們可以通過邏輯證明運動是不可能的。因此，我們所看到的運動是假象，並不真實，因為真實的東西一定是合乎邏輯的。

真的可以用邏輯證明運動的不可能性嗎？

柏格森說得對，芝諾論辨的全部要害在於用運動軌跡代替運動本身。[7]許多現代分析哲學家進一步指出，芝諾用數學化的運動軌跡代替物理的運動軌跡，就將真實的物理運動導入關於無限的數學迷途之中。

在芝諾論辨中，時間與空間的點結構起了很大的作用。雖然在二分法與阿喀琉斯中時空是密集的點結構，而在飛矢和運動場中時空是分立的點結構。先看密集的點結構所帶來的問題。

把時間空間看成連續的，也就是把它看成一個實數連續統。用實數連續統描述時間出現兩個問題：第一，任一時刻不存在一個緊隨其後以及它所緊隨的之前的時刻；第二，任意兩時刻之間有無窮多個時刻。這兩個特徵都與我們的時間經驗發生了牴觸，若時間真是一個連續統，那之前和之後關係在時間的結構中就找不到依據了，而之前之後關係恰恰是我們時間經驗中最重要的因素。把空間當成一個實數連續統也同樣存在這個問題。而且，在物理世界中，從沒有一個時刻是沒有延續性的，從沒有一個物體是沒有廣延的。數學結構顯見要與物理結構區分開來。

時空的分立點結構所導致的問題也許是更為深刻的。由於分立結構必然導致一切運動速度均相同的荒謬結論，我們有必要重新審視時空的結構本身。如果時空具有內稟結構，那從邏輯上講，就完全可能取分立的形式。所謂內稟結構是指與物體運動無關的結構，牛頓的絕對時空就具有內稟結構。“運動場”問題根源於時空有內稟結構這一前提，而這一前提是錯誤的。現代物理學加強了這樣一個觀念：時間與空間是事件之間的關係，而不是獨立的實體；集合論表明，在假定空間連續的情況下，任何一個線段都具有完全相同的結構，因此長度這個最基本的空間量不是內稟的，而是約定的。[8] 時空的數學點結構所帶來的問題也許可以解決，但即使這些問題都解決了，運動的可能性問題是否就隨之解決了呢？不然。二分法有兩種形式，一種是說，它永遠到不了終點，另一種是說，它根本不能起動。第一種形式的無窮序列沒有最後一項，所以到不了終點；第二種形式的無窮序列沒有第一項，所以根本無法起動。第二種形式最具有啟發性，因為若無窮問題得到了很好的解決，第一種形式的因難就可以消除了，但第二種形式的困難還剩下一點：第一推動。如它能有一個初始起動，它可以起動；如它沒有一個初始起動，它就不能起動。這是一個同語反覆，表明數學分析並不能證明運動是可能的。回想一下柏格森所提出的問題：對運動軌跡的任何分析都不是對運動本身的完全分析，因此在此基礎之上既不可能證明運動是不可能的，也不可能證明運動是可能的。“運動”在“證明”之外。

一旦把運動事件看作第一位的，而把時間空間看成對運動事件的抽象，那麼飛矢問題就不難解決。飛矢作為一個物理事件在分析時應作為最基本的要素，而不是作為一個被導出的東西，相反，時空的結構應從象飛矢這樣的物理事件中導出。飛矢問題完全是由於分析次序的顛倒所造成的。

物理點並不是數學點，阿喀琉斯實際上只用了有限步驟就追上了烏龜。拋棄了芝諾所設置的點結構，阿喀琉斯問題也不再成為問題了。

總結一下由芝諾悖論所引出的哲學結論：運動本身是第一位的，而運動軌跡是第二位的；物理經驗是第一位的，而數學描述是第二位的；物理事件是第一位的，而時空結構是第二位的。對運動軌跡的分析引出了數學和邏輯上的許多問題，即使這些問題最終能夠解決（現在當然還不能說已經解決），也不意味着最終解決了運動問題本身。運動更為基本而且不可分析，它超出了理論理性。芝諾沒能證明運動的不可能性，因為運動根本不可證。（第奧根尼的回答並不可笑，相反很深刻）若說只有可證的才是真實的，那運動的確是“不真實”的。芝諾悖論最終的哲學意義涉及到愛利亞學派對“實在”的看法。

 
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[1] 《物理學》２３９ｂ５－２４０ａ１８

[2] 可參見Ｋｉｒｋ，Ｒａｖｅｎ，　Ｔｈｅ　Ｐｒｅｓｏｃｒａｔｉｃ　Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｅｒｓ，　Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｂｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９６０，ｐ．２８８

[3] Ｆ．Ｈ．Ｂｒａｄｌｅｙ，　Ａｐｐｅａｒａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｒｅａｌｉｔｙ，Ｏｘｆｏｒｄ：Ｃｌａｒｅｎｄｏｎ　Ｐｒｅｓｓ，１９３０，ｐ．３６

[4] 《物理學》２３９ｂ５－２４０ａ１８

[5] 《哲學史講演錄》中譯本第１卷第２８９頁。

[6] 參見Ｗ．Ｃ．Ｓａｌｍｏｎ，ｅｄ．　Ｚｅｎｏ＇ｓ　Ｐａｒａｄｏｘｅｓ，Ｔｈｅ　Ｂｏｂｂｓ－Ｍｅｒｒｉｌｌ　Ｃｏｍｐａｎｙ，Ｉｎｃ．１９７０，尤其是Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ以及Ｂｌａｃｋ，Ｗｉｓｄｏｍ，Ｔｈｏｍｓｏｎ，Ｂｅｎａｃｅｒｒａｆ的文章。

[7] “芝諾的錯誤在於把運動與運動軌跡混同起來，並設想軌跡上發生的就一定能在運動中發生。”《創造進化論》王珍麗等譯，湖南人民出版社１９８９年版第２４３頁。

[8] 參見Ｓａｌｍｏｎ，Ｓｐａｃｅ，Ｔｉｍｅ，ａｎｄ　Ｍｏｔｉｏｎ，　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｍｉｎｎｅｓｏｔａ　Ｐｒｅｓｓ，１９８２，ｃｈａｐｔｅｒ１，中譯文“哲學與幾何：一對孿生姐妹”，載《國外自然科學哲學問題·１９９１》中國社會科學出版社１９９１年版。