我在 NYU Courant 数学研究所做博士后时做过一件相当了不起的工作，是一个36年的 Open Problem（中文怎么称呼）。论文发表在Physical Review A 。文章发表后，美国陆军研究所主任曾来函索取复印件。我以后一直想做些后续工作，但谈何容易。最近又有些想法，但又碰到问题，而且问题还没法讲清楚来请大家帮助。先介绍一些比较吸引眼球的结果。

一维系统有 N 个粒子，在长度为2π 的盒子里，

S(k) = exp(ikx₁) + exp(ikx₂) + … + exp(ikx_N)

这 S(k) 英文叫 Collective Modes，中文叫集体振动模式。现在假定N=4。我们，具体说，就是我，发现，假如S(1) = 0

S(3) = S(5) = S(2n+1) = … = 0

四个粒子，相角可自由选取，所以还有三个自由度，但是我们只施加了一个限制条件就可以使 S(2n+1) = 0。这个比较容易，这儿诸位高手很快就能证明。下面就神奇了。N = 6

S(k) = exp(ikx₁) + exp(ikx₂) + … + exp(ikx₆)

假如我们限制 S(1) = S(2) = 0，按理说5个自由度只限制了2个，但我们会发现

S(1) = S(2) = S(4) = S(5) = … = S(3k-2) = S(3k-1) = … = 0

对一般的 N，不论奇偶，我们在论文中都证明了类似结果。建议大家不要尝试。

如果到这儿为止，大家觉得还算有趣，请告诉我。如果已经觉得无聊，无趣，我就此打住。