現實世界:理解數學的金鑰匙
當代數學,龐大而繁雜,學數學的,往往陷在森林之中,看不清遠處。但是,只要我們把數學當作理解現實世界的工具,數學本身也就容易理解了。下面,我們簡單介紹一下數學的幾個重要分支以及它們與現實的關係。
1.拓撲學
龐加勒最初想用微分方程描述三個物體在引力作用下的運動軌跡,即三體問題,但發現運動軌跡極為複雜,很難掃描,他退而求其次,希望理解系統的穩定性,而非精確的軌道,這就是拓撲學。由於拓撲學不需要象分析學那樣精確,拓撲學方法在許多領域,比如經濟學,得到廣泛應用。人們所熟悉的《美麗心靈》中的納什,就是用拓撲學方法來證明博奕論中的一個存在性問題。拓撲學理論還用來證明一般均衡態的存在性,即Arrow-Debreu 理論。為此Arrow 和Debreu兩人都拿了諾貝爾獎。
Debreu[1] 曾提到拓撲學方法的好處, “In the area under discussion it has been essentially a
change from calculus to convexity and topological properties, a transformation
which has resulted notable gains in the generality and in the simplicity of the
theory” (Debreu, 1959, p. x). 但同時, 拓撲學方法不能提供一個定量的價值理論.而分析方法卻可以,詳情可參看[2] 第六章.
2. 概率論和隨機過程
1900年, BACHELIER 遞交了他的博士論文, 題目為<<投機的數學>>. 建立了布朗運動的數學理論, 但他的工作在他在世的時候並沒有受人重視.直到半個多世紀後, 才受到經濟學界的重視. 這方面的最大成就是1973年的BLACK-SCHOLES 期權理論. FISCHER BLACK是一位數學博士.
我們無法知道微觀粒子的確切路徑, 但我們可以知道微觀粒子的路徑分布,
1948年, 費曼提出了路徑積分方法, 後經Kac 進一步推演, 成為Feynman-Kac 公式, 是概率論和隨機過程理論中應用極廣的一個方法, 也應用到經濟學理論. Dixit 和 Pindyck 在1994 年出了一本很有影響力的書[3]. 書中提到“Feynman could be claimed as the father of financial
economics” (Dixit and Pindyck, 1994, p. 123). 但他們並沒有使用Feynman-Kac 公式, 而是用了Fokker- Planck equation. 大概他們沒有意識到兩者之間的區別. 如果他們使用Feynman 的方法, 會得到經濟學裡很重要的結果, 詳情可參看[2] 第三章.
3.代數和非交換代數
費曼提出路徑積分, 是第三種量子力學理論. 1925年,海森堡,波恩和喬丹提出了量子力學的第一個理論:矩陣力學。其最基本的結果就是位置和動量乘積的非交換性。正是由於量子力學的興起,代數,特別是非交換代數的研究,變得非常活躍。
4. 泛函分析和算子理論
在學習泛函分析前,我們學過函數。每個函數,都有明確的自變量和函數值。但是,在微觀世界裡,我們無法精確知道很多數值,比如我們無法精確知道一個電子的位置和動量,我們只能知道它們的概率分布,這種函數的定義比傳統的函數定義廣泛,是為泛函。
1926年, 薛定諤提出第二種量子力學理論:波動力學. 其基礎是薛定諤方程. 了解量子力學一般通過對應原理, 比如說, 經典力學中有一個動量, 量子力學裡就有一個動量算子. 這樣, 量子力學裡的方程, 象薛定諤方程, 就容易從經典力學理解了. 數學中的算子理論, 也因此流行.
從上面的討論可知, 量子力學的三種理論, 催生出很多不同的數學理論. 由於量子力學的這三種理論是等價的, 這些看上去很不同的數學理論有着很多深層的聯繫.
5. 信息論
信息論是申農在1948年發表的. 研究信息論的最初目的是破解敵方的密碼. 要破解敵方的密碼, 必須找到文字的規律, 那麼文字有什麼規律呢? 我們說話, 不知不覺, 都想用最短的方式表達. 而申農證明了, 一個信息最短的表達方式是熵凾數. 也就是說, 熵凾數是是天然的經濟度量. 因為信息論可以計算信息編碼的最短值, 成了信息壓縮技術的理論基礎. 而人的大腦也需要減少信息處理的成本,因此信息論也成為理解思維的工具,詳細的討論可參看[2] 第五章.
由於信息和熵, 一個最基本的物理量, 連在一起, 很多人猜測信息論會有極廣泛的應用. 1956年, KELLY 推導出信息的量值等於投資的最高回報率, KELLY 的工作在投資界得到廣泛應用, 但卻被經濟學理論界拒絕.
POUNDSTONE 曾寫過一本書[4],描寫了形形色色的有關人士.
我們評價一個數學工作的重要性,往往以難度衡量, 但是數學和其它科學的目的, 不是為了增加難度, 而是為了簡化問題, 從長遠的角度, 那些對實際問題帶來更加簡潔理解的數學方法, 才會有更多的人去學習.從上面介紹的幾個例子,我們可以看到,源於現實世界需要的數學研究, 往往具有強大的生命力. 在過去一百多年中, 物理學,特別是統計物理和量子物理,是數學理論的重要源泉.而過去幾十年和將來, 數學在經濟學領域的應用將給整個社會科學帶來巨大的變化.
參考文獻
1. Debreu, G. (1959). Theory
of value; an axiomatic analysis of economic equilibrium. New
York: Wiley.
2. Chen,
J. (2015) The
Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory,
Springer
3. Dixit, A. and
Pindyck, R. (1994).Investment under uncertainty, Princeton University
Press, Princeton.
4. Poundstone, W.
(2005).Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System
That Beat the Casinos and Wall Street, Hill and Wang