我认为用有理柯西序列定义无理数只有两条道路可走：

(1)证明有理柯西序列的收敛性

如果要证明柯西有理序列的收敛性，就要用到单调有界定理/实数完备性定理。
而实数完备性定理，要求实数被定义。换句话说，只有在完备空间中，所有的
有理柯西列才都有极限。这里的完备空间是无理数已被定义的实数空间。

(2)不证明有理柯西序列的收敛性，把有理柯西序列收敛述说为公理。

要想这样做，还要给有理柯西序列加上一些条件。因为不是所有的有理柯西序
列都收敛于无理数。例如，an = 1/n, an = 1,都是有理柯西序列，但都不收敛
于无理数。

把有理柯西序列收敛述说为公理，是不是要事先定义收敛性呢。学生要问什么是
收敛，你怎么回答呢？按照目前的教科书，讨论收敛性，都要讨论

|an - c| 小于 e

如果c 能和 an 做减法，那么c一定要被事先定义。

好，假设不讨论收敛性，就说有理柯西序列定义无理数。那么你总要给学生举个
例子吧。或者说，总要叙述定义过程吧。对有理柯西序列，n是无穷的，每一个n
只能算出被定义数的前几位，下一个n又多算出一位或几位。如果你承认被算出的
将是一个数的话，实际上你已经定义了实数。

再说了，在学生还没有学无理数时，把这些难懂的公理强加给学生，在教学上肯定
是不会成功的