我認為用有理柯西序列定義無理數只有兩條道路可走：

(1)證明有理柯西序列的收斂性

如果要證明柯西有理序列的收斂性，就要用到單調有界定理/實數完備性定理。
而實數完備性定理，要求實數被定義。換句話說，只有在完備空間中，所有的
有理柯西列才都有極限。這裡的完備空間是無理數已被定義的實數空間。

(2)不證明有理柯西序列的收斂性，把有理柯西序列收斂述說為公理。

要想這樣做，還要給有理柯西序列加上一些條件。因為不是所有的有理柯西序
列都收斂於無理數。例如，an = 1/n, an = 1,都是有理柯西序列，但都不收斂
於無理數。

把有理柯西序列收斂述說為公理，是不是要事先定義收斂性呢。學生要問什麼是
收斂，你怎麼回答呢？按照目前的教科書，討論收斂性，都要討論

|an - c| 小於 e

如果c 能和 an 做減法，那麼c一定要被事先定義。

好，假設不討論收斂性，就說有理柯西序列定義無理數。那麼你總要給學生舉個
例子吧。或者說，總要敘述定義過程吧。對有理柯西序列，n是無窮的，每一個n
只能算出被定義數的前幾位，下一個n又多算出一位或幾位。如果你承認被算出的
將是一個數的話，實際上你已經定義了實數。

再說了，在學生還沒有學無理數時，把這些難懂的公理強加給學生，在教學上肯定
是不會成功的