神秘的無理數 - 挑戰學院派 西線晨霧 無理數是在小學期間學的。當時沒覺得無理數有什麼神秘的，就是有點麻煩，求了 一位又一位，總也算不完。好在老師說了，求出小數點後三，四位就行了。到了大 學，學了級數才感覺到了無理數的神秘。在小學中所學的無理數的定義是無限不循 環小數，也就是不循環的阿拉伯數字串與小數點構成。對比級數概念，其實，無理 數就是以十為基的冪級數。談到級數，就有收斂性問題，也可以說是有理序列的收 斂問題。那麼到底是應該先建立有理序列的收斂概念來定義無理數，還是應該先定 義無理數從而建立序列的收斂概念？聽起來似乎有點邏輯循環的味道。這就是我感 到的無理數的神秘性。 讀了一些大師們寫的書，更增加了我對無理數的神秘感。無理數的定義在這些大師 們的書中複雜去了。什麼集合，什麼戴狄金分劃，非常難懂。看了這些書，我在佩 服作者功力之餘，有一點不舒服的感覺。難道要懂無理數，需要學那麼高深複雜的 知識？如此說來，小學生，中學生，甚至非理科的大學生都不能真正懂得無理數了？ 真對這個問題，我也請教過一些資深的數學教師，他們的回答是，你以前學的都錯 了，只有大師們寫的書才是嚴格的。要想培養嚴格的思維，就得參照大師們的書， 按步就班學起。這就是學院派的回答。 讀了不同風格的教科書和工作中積累的經驗告訴我，簡單的系統容易成功。把各個 教科書中的簡單點集合起來幾乎就是一本嚴格的教科書。有時簡單就意味着嚴格。 以我最近在靈機一動出的一道題為例：利用有理數的乘法交換律證明無理數的乘法 交換律。遵循簡單無理數定義的都給出了比較嚴格的證明。而遵循複雜無理數定義 的都還沒有給出證明。複雜定義的有柯西有理序列定義無理數和戴狄金分劃定義無 理數。而我偏偏認為，柯西有理序列定義和戴狄金分劃定義都是不嚴格的。下面我 就談談理由。 如果要用柯西有理序列定義無理數，先要證明柯西有理序列的收斂性。而有理柯西 序列的收斂性證明要用到單調有界定理/實數完備性定理。而實數完備性定理，要求 實數被定義。另外無論什麼序列的收斂性證明都要討論 |an - c| 小於 e 如果c 能和 an 做減法，那麼c一定要被事先定義。 現在討論戴狄金有理分劃定義無理數。我所知道的最常用的定義是，當有理分劃的 下組沒有最大數，上組沒有最小數時，約定分劃夾一個數。這個數就是無理數。其 實這個定義也是有缺陷的。首先，所謂夾就是比較大小。在這個數沒定義之前，怎 樣參與和有理數的比較？如果是逐位比較，那麼說明這個數已有定義，不必定義兩 次。還有，沒有無理數的定義，怎樣證明下組沒有最大數，上組沒有最小數的有理 分劃的存在？就算這種分劃存在，如何證明這種分劃存在空隙而能容納一個數？如 果數中只有整數被定義，1和2之間還有空隙嗎？換句話說，如果沒有無理數的事先 定義，就不能證明，下組沒有最大數，上組沒有最小數的有理分劃夾一個數。如果 只定義有理數域，沒有更廣泛的數域，有理數域的非只能是空集。 走了一大圈，我們終於發現，最簡單的定義是最完美的定義。也就是把無理數定義 為無限不循環小數。儘管它能寫成級數形式，由於某些無限不循環小數是一些正方 形和矩形的斜邊的長度，我們直接把他們接納為數。再把這個概念擴展，一切無限 不循環小數都是數。當然這個定義也是公理化定義(沒有被證明為幾何量值的無限 不循環小數也被接納)。這個世界是開環的還是閉環的我們不知道(很有可能是閉環 的，也就是互為因果的)，但人類的論證只能從一個起點出發。這就需要公理。 從這個簡單的無理數定義出發，很容易推導出實數的性質。有了無理數的事先定義 才可能證明下組沒有最大數，上組沒有最小數的有理分劃夾一個數，從而很容易地 推出實數完備性定理，為以後的極限論鋪平道路。同時這種邏輯次序也是最有利於 教學的，學生容易接受。 有時簡單就意味着比較完美，有時簡單就意味着嚴格。