神秘的无理数 - 挑战学院派 西线晨雾 无理数是在小学期间学的。当时没觉得无理数有什么神秘的，就是有点麻烦，求了 一位又一位，总也算不完。好在老师说了，求出小数点后三，四位就行了。到了大 学，学了级数才感觉到了无理数的神秘。在小学中所学的无理数的定义是无限不循 环小数，也就是不循环的阿拉伯数字串与小数点构成。对比级数概念，其实，无理 数就是以十为基的幂级数。谈到级数，就有收敛性问题，也可以说是有理序列的收 敛问题。那么到底是应该先建立有理序列的收敛概念来定义无理数，还是应该先定 义无理数从而建立序列的收敛概念？听起来似乎有点逻辑循环的味道。这就是我感 到的无理数的神秘性。 读了一些大师们写的书，更增加了我对无理数的神秘感。无理数的定义在这些大师 们的书中复杂去了。什么集合，什么戴狄金分划，非常难懂。看了这些书，我在佩 服作者功力之余，有一点不舒服的感觉。难道要懂无理数，需要学那么高深复杂的 知识？如此说来，小学生，中学生，甚至非理科的大学生都不能真正懂得无理数了？ 真对这个问题，我也请教过一些资深的数学教师，他们的回答是，你以前学的都错 了，只有大师们写的书才是严格的。要想培养严格的思维，就得参照大师们的书， 按步就班学起。这就是学院派的回答。 读了不同风格的教科书和工作中积累的经验告诉我，简单的系统容易成功。把各个 教科书中的简单点集合起来几乎就是一本严格的教科书。有时简单就意味着严格。 以我最近在灵机一动出的一道题为例：利用有理数的乘法交换律证明无理数的乘法 交换律。遵循简单无理数定义的都给出了比较严格的证明。而遵循复杂无理数定义 的都还没有给出证明。复杂定义的有柯西有理序列定义无理数和戴狄金分划定义无 理数。而我偏偏认为，柯西有理序列定义和戴狄金分划定义都是不严格的。下面我 就谈谈理由。 如果要用柯西有理序列定义无理数，先要证明柯西有理序列的收敛性。而有理柯西 序列的收敛性证明要用到单调有界定理/实数完备性定理。而实数完备性定理，要求 实数被定义。另外无论什么序列的收敛性证明都要讨论 |an - c| 小于 e 如果c 能和 an 做减法，那么c一定要被事先定义。 现在讨论戴狄金有理分划定义无理数。我所知道的最常用的定义是，当有理分划的 下组没有最大数，上组没有最小数时，约定分划夹一个数。这个数就是无理数。其 实这个定义也是有缺陷的。首先，所谓夹就是比较大小。在这个数没定义之前，怎 样参与和有理数的比较？如果是逐位比较，那么说明这个数已有定义，不必定义两 次。还有，没有无理数的定义，怎样证明下组没有最大数，上组没有最小数的有理 分划的存在？就算这种分划存在，如何证明这种分划存在空隙而能容纳一个数？如 果数中只有整数被定义，1和2之间还有空隙吗？换句话说，如果没有无理数的事先 定义，就不能证明，下组没有最大数，上组没有最小数的有理分划夹一个数。如果 只定义有理数域，没有更广泛的数域，有理数域的非只能是空集。 走了一大圈，我们终于发现，最简单的定义是最完美的定义。也就是把无理数定义 为无限不循环小数。尽管它能写成级数形式，由于某些无限不循环小数是一些正方 形和矩形的斜边的长度，我们直接把他们接纳为数。再把这个概念扩展，一切无限 不循环小数都是数。当然这个定义也是公理化定义(没有被证明为几何量值的无限 不循环小数也被接纳)。这个世界是开环的还是闭环的我们不知道(很有可能是闭环 的，也就是互为因果的)，但人类的论证只能从一个起点出发。这就需要公理。 从这个简单的无理数定义出发，很容易推导出实数的性质。有了无理数的事先定义 才可能证明下组没有最大数，上组没有最小数的有理分划夹一个数，从而很容易地 推出实数完备性定理，为以后的极限论铺平道路。同时这种逻辑次序也是最有利于 教学的，学生容易接受。 有时简单就意味着比较完美，有时简单就意味着严格。